2.2.2 函数的奇偶性1、理解函数的奇偶性及其几何意义；（重点）2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3、学会判断函数的奇偶性（难点）从对称角度思考下列各图有什么特点?函数的图象有时也会出现这种“对称”的特点，我们把函数的这种性质称为函数的奇偶性.观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类.OxyOxyyOxOxyOxyOxy【解析】是一类，图象关于y轴对称；是一类，图象关于原点对称.【解答】从表格中我们可以看出：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值相同.x-3-2-10123f(x)=x2 yOxyO-2f(x)=x2x941-331-12一般地，设函数y=f(x)的定义义域为为A.如果对于任意的 ,都有f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数（even function） 一、偶函数的定义【解答】从表格中我们可以看出：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值也互为相反数.x-3-2-10123f(x)=x3 Oxy 3)(xxf=二、奇函数的定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为A如果对于任意的 ,都有f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数(odd function) OxyOxyOxyyOx问题1 偶函数的图象有什么特征？问题2 奇函数的图象有什么特征？OxyOxyOxy三、奇偶函数图象的特征提升总结：奇偶函数图象的特征可用于：（1）简化函数图象的画法. （2）判断函数的奇偶性.问题3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xyo相等问题4 已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xyo相等判断函数奇偶性先 看其定义域是否关 于原点对称(1)奇函数;(2)偶函数;(3)既是奇函数又是偶函数(函数f(x)=0);(4)既不是奇函数又不是偶函数.提升总结：1.按奇偶性可将函数分成以下四类：.判断或证明函数奇偶性的基本步骤：.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则必有f(0)=0.例 判定下列函数是否为偶函数或奇函数：(1) f(x)=x2-1 (2) f(x)=2x(3) f(x)=2x (4) f(x)=(x-1)2解 (1)函数f(x)=x2-1的定义域是R因为对于任意的xR，都有f(-x)=(-x)2-1= x2-1= f(x).所以函数f(x)= x2-1是偶函数.(3)函数f(x)= 2x的定义域是R，因为对于任意的x R，都有f(-x)= 2-x= 2x= f(x)，所以函数f(x)= 2x是偶函数.(2)函数 f(x)=2x的定义域是R。因为对于任意的xR，都有f(-x)=2(-x) = -2x= -f(x)，所以函数f(x)=2x是奇函数. (4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R因为f(1)=0，f(-1)=4，所以f(1)f(-1), f(1)-f(-1), 因此，根据函数奇偶性定义，可以知道函数f(x)=(x-1)2 既不是奇函数也不是偶函数.函数 f(x)的定义域 关于原点 对称例 判断函数f(x)=x3+5x是否具有奇偶性.解：函数f(x)的定义域为R因为对于任意的xR，都有f(-x)=(-x)3+5(-x)=-(x3+5x)= - f(x)，所以函数y=f(x)为奇函数.1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数.如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数.2、两个性质：一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称.习惯的链条在重新断裂之前，总是难以察觉！