第二节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式表示的平面区域直线y=kx+b把平面分成两个区域,不等式区域位置ykx+b_y0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.( )(3)线性目标函数的最优解可能是不惟一的.( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(5)目标函数z=ax+by(b0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( )(6)目标函数z=(x-a)2+(y-b)2的几何意义是点(x,y)与(a,b)的距离.( )【解析】(1)错误.不等式Ax+By+C0表示的平面区域也可能在直线Ax+By+C=0的下方,这要取决于A与B的符号.(2)错误.不一定,如果二元一次不等式组的解集为空集,它就不表示任何区域.(3)正确.当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平行时,最优解可能有无数多个.(4)正确.线性目标函数都是通过平移直线,在与可行域有公共点的情况下,分析其在y轴上的截距的取值范围,因此其取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(5)错误.由ax+by-z=0可得 ,所以 才是该直线在y轴上的截距.(6)错误.其几何意义应该是点(x,y)与(a,b)的距离的平方.答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6)1.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内,则m的取值范围是 .【解析】依题意有2m+3-50,解得m1.答案:m12.若x,y满足约束条件 则z=3x-y的最小值是 .【解析】z=3x-y y=3x-z,作出可行域,由图可知过A点时z取最小值,把点A(0,4)代入,可得z=-4.答案:-43.已知点P(x,y)的坐标满足条件 则x2+y2的最大值为 .【解析】画出不等式组对应的可行域如图所示:易得A(1,1),OA= ,B(2,2),OB= ,C(1,3),OC= ,故|OP|的最大值为 ,即x2+y2的最大值等于10.答案:104.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台,若每辆至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 元.【解析】设甲型货车使用x辆,乙型货车y辆.则所花运费为z=400x+300y.画出可行域(如图),由图可知当直线z=400x+300y经过点A(4,2)时,z取最小值,最小值为zmin=2 200.答案:2 2005.不等式组 表示的平面区域的面积为 .【解析】该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形,其面积等于 36=9.答案:96.已知变量x,y满足约束条件 若目标函数z=y-ax仅在点(5,3)处取得最小值,则实数a的取值范围为 .【解析】画出可行域,如图所示.由z=y-ax得y=ax+z,则z为直线y=ax+z在y轴上的截距,由于函数z=y-ax仅在点(5,3)处取得最小值,如图所示,则a0,直线y=ax+z过点P(5,3),且直线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率,所以a1.答案:(1,+)考向 1 平面区域的相关问题 【典例1】(1)已知不等式组 表示的平面区域的面积是 ,则a= .(2)(2012福建高考改编)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件 则实数m的最大值为 .【思路点拨】(1)先画出不等式组所表示的平面区域,由于a0,其形状基本确定,是一个三角形,然后根据三角形的面积公式求解.(2)画出不等式组所表示的平面区域,然后结合函数y=2x的单调性及图象特征确定区域边界点的位置,从而求出m的值.【规范解答】(1)画出平面区域,可知该区域是一个三角形,其面积等于 所以h= 解方程组得y= 所以 解得答案:(2)如图,当y=2x经过且只经过x+y-3=0和x=m的交点时,即三条曲线有惟一公共点时,m取到最大值,此时,(m,2m)在直线x+y-3=0上,则m=1.答案:1【拓展提升】平面区域问题的求解思路求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时,要以数形结合思想方法为核心,充分利用函数图象与方程曲线的特征(增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等),与平面区域的位置和形状联系起来,对参数的取值情况分析讨论,进行求解.【变式训练】若不等式组 表示的平面区域为M,当抛物线y2=2px(p0)与平面区域M有公共点时,实数p的取值范围是 .【解析】作出平面区域(如图),可以求得A(1,2),B(2,1),代入抛物线方程可得p=2,p= ,所以p ,2.答案: ,2考向 2 线性规划的相关问题 【典例2】(1)(2012辽宁高考改编)设变量x,y满足则2x+3y的最大值为 .(2)(2013常熟模拟)设x,y满足 则 的取值范围是 .(3)已知实数x,y满足 目标函数z=ax-y的最小值和最大值分别为-2和2,则a的值为 .【思路点拨】(1)典型的线性规划问题,作出可行域,画出直线2x+3y=0,通过截距,观察确定最优解.(2)首先把 化为 转化求 的斜率模型求解.(3)线性规划逆向性问题,可行域已经确定,可对目标函数中的参数a进行分类讨论,确定最优解,从而求出a的值.【规范解答】(1)画出线性约束条件表示的可行域(如图中的阴影部分),令2x+3y=z,则 由图形可知,当直线y=经过点A(5,15)时,截距最大,z取到最大值,且zmax=25+315=55.答案:55(2)作出可行域如图(不包括y轴):令z= ,看作可行域内的点与原点连线的斜率,z1, 2.答案:2,+)(3)画出可行域(如图所示).由z=ax-y得y=ax-z,显然当a=0时,z的最大值和最小值分别为0和-2,不合题意.若a0,则z=ax-y在A(2,2)处取得最大值2,在B 处取得最小值-2,因此有 解得a=2,符合题意;若a 时,由图形可知,目标函数在点A(2,0)处取得最小值,因此-2=0-2m,解得m=1.(2)当00)表示的平面区域的面积为5,且直线mx-y+m=0与该平面区域有公共点,则m的最大值是 .【解析】画出可行域(如图),可求得A(a,2a),B(a, ),三角形区域的面积为 所以 =5,解得a=2,这时A(2,4).而直线mx-y+m=0可化为y=m(x+1),它经过定点P(-1,0),斜率为m,由图形知,当直线经过点A时,斜率m取最大值,且 故m的最大值是答案:2.若实数x,y满足不等式组 则 的取值范围是 .【解析】画出可行域(如图),由于 其中 表示可行域中的点(x,y)与定点(-1,-1)连线的斜率k,由图形可知k ,5,所以 ,4.答案: ,4