2 0 0 5 中国控制与决策学术年会论文集P r o c e e d i n g so f2 0 0 5C h i w s eC o n t r o la n dD e c i s i o nC o n f e t e ”c F1 2 9切换系统任意切换序列下稳定的若干充分条件宋杨，马国梁，向峥嵘，胡雏礼( 南京理工大学自动化系，江苏南京2 1 0 0 9 4 )摘要：针对线性切换系统，研究了任意切换序列下系统的稳定性问题，井采用酉变换方法，给出了判断线性切换系统在任意切换序列下稳定的若干充分条件最后通过仿真实例说明了文中定理的有效性关链词：线性切挽系坑l 稳定性；任意切换序列S e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ns t a b i l i t yo f l i n e a rs w i t c h e ds y s t e m sa ta r b i t r a r ys w i t c h e ds e q u e n c eS O N GY a n g ，M AG u o l i a n g ，X 1 A N GZ h e n g t o n g ，H UW e i l i( D e p a r t m e n to fA u t o m a t i o n ，N a n j i n gU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y ，N a n j i n g2 1 0 0 9 4 ，C h i n a C o r r e s p o n d e n t S O N GY a n g ，E m a i l ：s i m o n s o n g c n 1 6 3 c o r n )A b s t r a c t , T h es t a b i l i t yp r o b l e m 。fl i n e a xs w i t c h e ds y s t e mu n d e ra r b i t r a r ys w i t c h e ds e q u e n c ei sc o n s i d e r e d B a s e do nu a i t a r ys i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o n s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ep r o p o s e dt oc h e c kt h es t a b i l i t yo fs w i t c h e ds y s t e m s E f f e c t i v e n e s so ft h et h e o r e mi si l l u s t r a t e db yan u m e r i c a le x a m p l e K e yw o r d s ：l i n e a rs w i t c h e ds y s t e m s ls t a b i l i t ya r b i t r a r ys w i t c h e ds e q u e n c e1 引言切换系统是一类特殊的混杂系统，它由若干个子系统组成，子系统问的切换由一个受事件或时间驱动的切换序列控制近年来，在有关切换系统的研究中，切换系统的稳定性引起了人们的极大兴趣切换系统的稳定性有一定的特殊性，并不能简单地归于各个子系统的稳定性的研究，比如全部由指数稳定子系统构成的切换系统却在某些切换序列下失稳切换系统的稳定性研究已有相当多的结果文献E l i 给出了使用公共李雅普诺夫函数判别切换系统稳定性的方法如果一个切换系统可以找到公共李雅普诺夫函数，意味着该系统在任意切换序列下是稳定的 2 中提出了利用多李雅普诺夫函数方法分析切换系统的稳定性并将其推广到一般的混杂系统中 3 中根据各子系统李雅普诺夫函数的增减来划分各子系统的可行域，使得子系统的对应李雅普诺夫函数在其可行域内递减这种方法适用于受控切换，对于讨论自主切换下或任意切换序列下系统稳定性则有困难本文研究切换系统在任意切换序列下的稳定问题通常研究此问题的主要途径是借助于寻找公共李雅普诺夫函数n “ ，但给出的一些稳定性判别条件验证起来较为困难，不易使用本文则从子系统状态矩阵的结构及特征值角度提出若干稳定性判别条件，这些结果实际应用起来较为方便 2 预备知识及问题描述定义1 称如下系统：王0 ) = A 。z 强) ，g N 一 1 ，2 ，M ( 1 )为自治线性切换系统，其中：z R ；A 。R “1 为子系统q 的状态矩阵；z ( f ) 为状态变量，且z ( ) = 1 ( f ) ，屯( 幻，矗( f ) 7 R l ；M 为子系统的个数对于给定的初始时间t 。以及初始值z o ，定义切基金项目t 冒塞自然科学基金项目( 6 0 1 7 4 0 1 9 ) 作者筒介。宋杨( 1 9 7 6 一) ，男安徽堆南人，博士生，从事混杂系统、切换系坑分析与控制等研究1 3 02 0 0 5 中国控制与决荒学术年会论文集换序列如下：S z o ，( q 1 ，t 1 ) ，( 9 2 ，t 2 ) ，( 吼，t 。) ，其中I S 的第一坐标序列 q ，q 。，q ) 表示子系统的切换序列，q 。N ；第二坐标序列 t 1 ，t 2 ，t 。)表示各对应子系统的开始作用时刻例如，( 玑，f 。)表示第”个发生作用的子系统A 。开始时刻为t 。，结 束时刻为t 本文假设切换系统( 1 ) 在切换瞬问无状态跳变文中，P “为P ”上的正交矩阵集，对于向量z R 4 ，| | zl f 为2 范数3任意切换序列下的稳定性各子系统均稳定是任意切换序列下稳定的必要条件对于无法预知子系统作用时间的切换系统，研究其稳定性是非常岿要的如前所述，子系统稳定并不能保证切换系统稳定，这是由于稳定子系统的状态范数尽管总体在递减，但在局部是可以增加的，因此可能存在着切换序列恰巧使全部或部分子系统作用时状态的范数增加，从而导致切换系统发散范数局部可以增加以及切换序列的不确定性是导致切换系统稳定性复杂化的原因显然若各子系统作用时范数全局内递减，则切换系统在任意序列下是稳定的定理1对于切换系统( 1 ) ，若 。为正规阵( 即A r q A ，= A ，A j ) 且R e ( A 。) 墅掣，则上式成立因此当式( 3 ) 和( 4 ) 成立时，切换系统( 2 ) 有公共李雅普诺夫函数尸= I ，故切换系统( 2 ) 在任意切换序列下稳定由引理t 知，切换系统( 1 ) 在任意切换序列下稳定口 4 数值实例考虑二阶子系统构成的切换系统，其中 A 1 = 一1 珊铲 一1 二； 112 J _ z l13J 。使用M a t l a b 中的s c h u r 命令可以求得 丁】一甲8 0 8 _ 0 4 7 35 ，一r 0 9 2 39 0 3 8 07 “一L o 3 8 07o 9 2 39J 丁- A ，丁，一 一m ：3 99 一i 点。 ，碍A L 一 。二：。一：艺42 ，一一4 A ，A ，= 一1 2 4 0 ，l3 Z2 0 0 5 中国控制与决策学术年会论文集 掣一口z ；一2 0 0了一一”一气由定理2 可知，切换系统在任意切换序列下稳定初始时刻子系统1 作用，以后每隔0 1S 切换到另一个子系统图1 为从 12 T 出发的切换系统轨迹显然切换系统稳定圈1 切换系统的轨迹5结论本文研究了线性切换系统在任意切换序列下渐近稳定的问题，借助于酉变换方法，提出了判定切换系统在任意切换序列下稳定的两个充分条件文中所得结果筒草易用仿真实侧表明了文孛定理的有效性参考文献( R e f e r e n c e s ) 1 3D o g r u e lM ，O z g u n z e rU S t a b i l i t yo fh y b r i ds y s t e m s A P r o cI E E EI n tS y m p o s i u m I m e l l g e a tC o n t r o l c 1 9 9 5 ，1 2 9 1 3 4 2 B r a n i c k yMS M u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n sa n do t h e ra n a l y s i st o o l sf o rs w i t c h e da n dh y b r i ds y s t e m s J J E E t l $ 。月A u t o m a t i cC o n t 坩1 1 9 9 8 ，4 3 ( 4 ) ：4 7 5 4 8 2 I s P e t t e r s s o nS L e n n a r t s o nB L M If o rs t a b i l i t ya n dr o b u s t n e s so fh y b r i ds y s t e m s A p r o c A m c rC o n t r o lc 丌c A l b u q u e r q u e ，1 9 9 7t1 7 1 4 1 7 1 8 4 K u m p a t iSN a r e n d r a ，J e y e n d r a nB a l a k r i s h n a n Ac o l D , m o r tl y a p u n o vf u n c t i o nf o rs t a b l eL T Is y s t e m sw i t hc o m m u t i n ga - m a t r i c e s J I E E ET r a n s 。nA u t o m a t i cC o n t r o l ，1 9 9 4 ，3 9 ( 1 2 ) ；2 4 6 9 - 2 4 7 1 5 T a t s u s h iO o b a ，Y a s u y u k iF u n a h a s h i O nac o m m o nl y a p u n o vf u n c t i o n sf o rw i d e l yd i s t a n ts y s t e m s J 1 E E ET r a n so nA u t o m a t l cC o n t r o l ，1 9 9 7 4 2 ( 1 2 ) 1 1 6 9 7 1 6 9 9 0 3T a t s u s h iO o b a ，Y a s u y u k iF u n a h a s h i T w oc o n d i t i o n sc o n c e r n i n gc o m m o nq u a d r a t i cl y a p u n o vf u n c t i o n sf o rl i n e a rs y s t e m s J I E E ET r a n s “A u t o m a t i cC o n t r 0 1 】9 9 7 ，4 2 ( 5 ) 1 7 1 9 - 7 2 1 ， 7 3C h e n gDz S t a b i l i z a t i o no fp l a n a rs w i t c h