鸡兔同笼问题讲解及习题鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一 类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同 笼问题来加以计算。例 1 小梅数她家的鸡与兔，数头有 16 个，数脚有 44 只。问： 小梅家的鸡与兔各有多少只?分析：假设 16 只都是鸡，那么就应该有 21632(只)脚，但 实际上有 44 只脚，比假设的情况多了 443212(只)脚，出现这 种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只， 头的数目不变，脚数增加了 2 只。因此只要算出 12 里面有几个 2， 就可以求出兔的只数。 解：有兔(44216)(42)6(只)，有鸡 16610(只)。答：有 6 只兔，10 只鸡。 当然，我们也可以假设 16 只都是兔子，那么就应该有 41664(只)脚，但实际上有 44 只脚，比假设的情况少了 64 4420(只)脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一 只，头的数目不变，脚数减少了 422(只)。因此只要算出 20 里 面有几个 2，就可以求出鸡的只数。有鸡(41644)(42) 10(只)，有兔 16106(只)。由例 1 看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设 都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因 此这类问题也叫置换问题。例 2 100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人 分 1 个馍。问：大、小和尚各有多少人?分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。 如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡 兔同笼问题，可以用假设法来解。假设 100 人全是大和尚，那么共需馍 300 个，比实际多 300 140160(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变， 而馍就要减少 312(个)，因为 160280，故小和尚有 80 人， 大和尚有 1008020(人)。同样，也可以假设 100 人都是小和尚， 同学们不妨自己试试。在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。例 3 彩色文化用品每套 19 元，普通文化用品每套 11 元，这 两种文化用品共买了 16 套，用钱 280 元。问：两种文化用品各买了 多少套? 分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有 1 个头 11 只脚，一种 “怪兔”有 1 个头 19 只脚，它们共有 16 个头，280 只脚。这样， 就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。 假设买了 16 套彩色文化用品，则共需 1916304(元)，比实际多 30428024(元)，现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换 一套少用 19118(元)，所以买普通文化用品 2483(套)， 买彩色文化用品 16313(套)。例 4 鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多 少只?分析：假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而 兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多 200 只，而实际上只多 20 只，这 说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 20020180(只)。现在以免换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即 鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 426(只)，而 180630，因 此有兔子 30 只，鸡 1003070(只)。解：有兔(210020)(24)30(只)，有鸡 1003070(只)。 答：有鸡 70 只，兔 30 只。例 5 现有大、小油瓶共 50 个，每个大瓶可装油 4 千克，每个 小瓶可装油 2 千克，大瓶比小瓶共多装 20 千克。问：大、小瓶各有 多少个? 分析：本题与例 4 非常类似，仿照例 4 的解法即可。 解：小瓶有(45020)(4+2)30(个)，大瓶有 503020(个)。答：有大瓶 20 个，小瓶 30 个。例 6 一批钢材，用小卡车装载要 45 辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，那么这批钢材有多少 吨?分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡 车能装多少吨。利用假设法，假设只用 36 辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆 大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，所以要剩下 436144(吨)。根据 条件，要装完这 144 吨钢材还需要 45369(辆)小卡车。这样每 辆小卡车能装 144916(吨)。由此可求出这批钢材有多少吨。解：436(4536)45720(吨)。答：这批钢材有 720 吨。例 7 乐乐百货商店委托搬运站运送 500 只花瓶，双方商定每 只运费 024 元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费， 而且还要赔偿 126 元，结果搬运站共得运费 1155 元。问：搬运 过程中共打破了几只花瓶? 分析：假设 500 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得 运费 024500120(元)。实际上只得到 1155 元，少得 120 1155 二 45(元)。搬运站每打破一只花瓶要损失 02412615(元)。因此共打破花瓶 45153(只)。解：(0245001155)(024126)3(只)。答：共打破 3 只花瓶。例 8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了 2 分钟，然后两人各 跳了 3 分钟，一共跳了 780 下。已知小喜比小乐每分钟多跳 12 下， 那么小喜比小乐共多跳了多少下?分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一 样，那么两人跳的总数减少了 12(2+3)60(下)。可求出小乐每 分钟跳(78060)(2+3+3)90(下)，小乐一共跳了 903270(下)，因此小喜比小乐共多跳 7802702240(下)。 练习题1鸡、兔共有头 100 个，脚 350 只，鸡、兔各有多少只?2学校有象棋、跳棋共 26 副，2 人下一副象棋，6 人下一副跳 棋，恰好可供 120 个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副? 3班级购买活页簿与日记本合计 32 本，花钱 74 元。活页簿每 本 L9 元，日记本每本 31 元。问：买活页簿、日记本各几本?4龟、鹤共有 100 个头，鹤腿比龟腿多 20 只。问：龟、鹤各 几只?5小蕾花 40 元钱买了 14 张贺年卡与明信片。贺年卡每张 3元 5 角，明信片每张 2 元 5 角。问：贺年卡、明信片各买了几张?6一个工人植树，晴天每天植树 20 棵，雨天每天植树 12 棵， 他接连几天共植树 112 棵，平均每天植树 14 棵。问：这几天中共有 几个雨天?7振兴小学六年级举行数学竞赛， 共有 20 道试题。做对一 题得 5 分，没做或做错一题都要扣 3 分。小建得了 60 分，那么他做 对了几道题?8有一批水果，用大筐 80 只可装运完，用小筐 120 只也可装 运完。 已知每只大筐比每只小筐多装运 20 千克，那么这批水果有 多少千克?9蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。问：每 种小虫各有几只?10鸡、兔共有脚 100 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有 脚 92 只。问：鸡、兔各几只?