第十二届全国结构风工程学术会议论文集一类单向约束动力系统一索结构之建模及其风振响应研究冯奇( 同济大学航空航天与力学学院，l ：海2 0 0 0 9 2 )1 引言索一结构系统分析在儿何非线性范畴已经成为许多研究的主题，例如：G r e e b e r g ，J o n a t o u r s k i 和B i r n s t i e l ，T e n e 和E p s t e i n ，以及M n r r a y 和W i l l e m e1 1 - 4 。但如果松弛和塑性应变出现，个别索的性质 会变成高度非线性，索的这个性质被称为物理非线性。由于这种物理非线性存在，索结构属于一类 单向约束力学系统。为了避免实际结构中出现索松弛现象，通常在设计时，在索上预加张力。但对于某些结构，在 动力荷载作用r ，索松弛现象仍然发生，如一个典型例子，在1 9 6 3 年，V i l l a r s 车站人厅屋盖在风荷 载作用下破坏”J 。模型试验指出当不对称荷载作用于该结构时，可能会有某些索单元发生松弛，并 且屋盖漂浮。因此，对丁这样结构仅考虑儿何非线性的描述是不真实的，所以，在对索结构进行建 模时，必须考虑其单向约束性质。索结构的非光滑性质的考虑应追溯于七十年代。1 9 7 5 年，G i u l i oM a i e r 等已经讨论用能量逼近 方法分析非弹性索结构，在此，他们考虑了索单元的几何非线性和物理非线性。他们采用分段线性 结构理想化索的本构关系，特别讨论了有界线性和e l a s t o p l a s t i c - w o r k - h a r d e n i n g 模型”J 。1 9 7 6 年 P a n a g i t o p o u l o s 讨论了索一结构在大位移情况F 非弹性单向应力分析“ j 。索一结构对荷载和初应变增量 的响应由一组方程式和不等式描述，它们被紧凑地表达为变分不等式。广义极值原理被导出，它含 有双重条件，即最小势能原理和以能虽不等式描述的互补性条件而数值计算则应用非线性优化算 法迭代执行。基于上述研究，索结构分析可以归入互补性问题中，但当时，他们的研究仅停留在静力学和拟一静力学范畴。单向约束力学作为非光滑力学的一个重要的弧类，3 5 年来得到很人发展”J 。这个领域由两部分 组成：凸能量函数相关的变分不等式领域2 】弄n 非一凸能量函数相关的半变分不等式领域”，后者仅 有1 5 年历史。而人多数非光滑力学问题具有非凸的面目。在 1 1 中，P a n a g i o t o p o u l o s 考虑了不等式 问题，这导致他以后发展、r 不等式【I ”。他的工作奠定了索结构建模和算法的基础。非光滑力学可以作一个广义的理论描述，但相关的问题必须采用数值方法解，尽管对丁非连续 系统的数值方法有许多有价值的贡献【l4 J ，但现有的算法仍然非常费时，因此，互补性问题的数值解 仍然是当前研究的一个重要的课题。目前，许多研究者的兴趣放在对于单向约束的数值算法的研究 上，在这中间关键的一步在于决策可能约束中的真实的一个。例如，若采用常用的算法，如果索单元数为m ，人们必须在2 “可能的约束组合中，找出真实的一组，因此，要求大量的计算机时间，这 对于真实的结构分析显然是不适宜的，本文发展的通用的计算机方法将致力于分析索结构的非线性振动。事实上，人们注意到非光滑模型已经超越机械系统的框架，它们能用于电网和神经网络。在本 文中，索结构被考虑作为一类“机械互补松弛系统”，基于单向接触多体动力学优化算法，发展一 个人工神经网络算法。下面两类索一结构被考虑：索单元力伸长关系遵循弹性性质和w o r k - h a r d e n i n g 假定。由于结构简单，前者用于证明方法的可靠性，而后者作为一般的问题加以处理。首先，我们 写出对于上述系统的互补性问题，然后采用广义高斯作用原理，将它们归结为优化问题，并基于 H o p f i e l d 的r 作，设计一个人J 神经网络，并在仿真的每一步用其决策可能的约束组合。作为例子， 简单的悬挂结构证明了计算的可靠性和时间花费的经济性：带索的桅杆例子指出本文建议方法对实际结构的适用性。2 索结构作为某些互补性问题建模尽管我们的J ：作针对索结构，但我们建议的方法同样适用丁- 某些杂交动力系统，如凸系统”o2 l第十二届全国结构风工程学术会议论文集1 6 】，或称为所谓的互补松弛系统”，。作为例子，在本文中考虑下面两个具有不同非线性性质的系 统，并将其作为互补性问题建模。在此，有必要对索的性质作简单的回顾。在文献 7 中，对此作了 分类：在最大的张力时，结构遵循弹性性质( F i g 1 ( a ) ) ；在最低张力时遵循完全弹塑性假定( F i g 1 ( b ) ) ；以及在这两者之间遵循w o r k - h a r d e n i n g 假定( F i g 1 ( c ) ) 。我们很清楚，我们发展的理论应该 允许在索结构的不稳定区进行讨论，阕为，此时。某些索单元可能会松弛。本文中，两种情况，弹 性性质和w o r k - h a r d e n i n g 假定被考虑。屿_-5 0汹弹性假定，s d。a ， s 0二7 、ts O( b ) 完全弹塑性假定( c ) w o r k - h a r d e n i n g 假定图1 索的伸长张力曲线2 1 索结构作为线性互补性系统建模众所周知，索结构可以作为线性互补性系统建模眠7 1 ，但是很少发现有关动力学的j 【作。作为 本文第一个例子，下面将一个简单悬挂结构作为线性互补性动力系统建模。2 1 1 线性互补性动力系统在 8 】中给出的线性互补性动力系统的一般方程如F l “2 “，fi = A z + B 2y = C x + D 五( 1 1l y ( f ) 0 ，五O ) o ，y 0 ) 7 丑( f ) = 0这是个杂交系统的模式( 这里有2 ”模式，Ya n d 五R ”) ，它对应于Y ，= D ，f o ri e ，E 0 ，m l 丑= 0 ，f o ri eJ 。，这里i c 是I 的分量i I l 口，m ) 。假定每个模式都是主动的，这意味着每个约束状态对应一对0 ( f X 丑( f ) ) ，而五( ) 是光滑的。如果考虑索一单元是弹性的，见图1 ( a ) ，则有些索一结构町以采用方程( 1 ) 描述。为了证明本文建 议的方法的可靠性，一个简单的例子在r 面小节中首先考虑。2 1 2 简单悬挂结构图2 简单悬挂结构图2 给出了一个简单悬挂结构，它由一根承重索，一根梁和3 根悬索组成，一个不对称外激励力p ( t )作用在梁的1 ，4 位置。假定每根悬索遵循弹性性质，如图1 ( a ) 。 令第j 根悬索的轴向伸长为A I i = A l i o w i U i ( f _ 1 , 2 ，3 )( 2 )一第十二届垒国结构风工程学术会议论文集此地，4 ，j 0 一第i 根悬索的静伸长s t a t i ce x p a n s i o no f t h ei - t hs l i n g ； 一与第i 根悬索联结点的梁之绕曲；一与第i 根悬索联结点的承重索的弹性绕曲。总系统的控制方程如下：m c i i H u = F , 5 ( x ，)m 。警+ 日警+ C 1 训0 5 w = 砉脚式中，m 。a n dm 口分别表示承重索和梁的单位质量；E 为梁的弹性模量：C 表示阻尼系数；P ( t )描述外激励：F 代表第i 根悬索作用在承重索和粱上的力。边界条件可以在如下描述( o ，) = u q ，) = 0删= w ( ，归窘卜警卜。引入以F 关系驴善吲咖扣) ；w = 喜啪概( ，)( 4 )由边界条件，我们可以确定如F 模态形式，啪) = s i n 孚x ( j = 1 ，2 ，3 _ ) 小) = s i n 孚，( 删鼬)将关系式( 4 ) 代入方程( 3 ) ，并进行积分，则整个结构的运动方干旱可以改写为如下形式式中矿z 锄嘞一幻2 圹砉等射击i z 一+ m c ：。2 2 手型M C 2 nB ，M B j = m B 椭出一，= ( 争2 辱一= 堕2 E ，弓= 胁；砘肼出2 n xJ 月O ) C 2 n2 丁1 面令y = ，K 7 = 【q ，q 。q ，V 2 1v 。v 。r ，上述方程能改写成，J y + E Y + f l Y = R A S + 砟= 足K l 址阻+ 耳 I s = K A L = K ( L L 。) = K D Y 0上式中，第十二届全国结构风工程学术会议论文集址= 卜鹄卜N ；平鲸D = 眈】；氏=矿2 。( )M c 2 。s = l s l z ；丑：乏 ；I s I ： l 也J仍( 卫3 )M 。1纺( x 3 )M B ，p r 2 1 ( )肼c 2 【少：。( 屯)M c 2 nO0l S ：100I S凡=P M B 巩K =| i ? 00 0 屯000k j其中丑表示第i 根悬索张力的指标函数。遵循弹性的张力一伸K 关系，每根悬索张力的增每能作如下的描述：A S i = 七：A ，( 8 )令Y f = A s ，一k i A l ，并引进状态变量z = 】，y 7 ，则数学问题( 7 ) 能变形为如方程( 2 ) 描述的线性 互补性动力系统，其方程如F ：l 量2 寥+ 耳+ 最埘，y 二筋一龇( 9 )【丛0 ，y 0 ，A S7 Y = 0一其中， 4 = 匕二 ；戽= 潞反= 斟在方程( 9 ) 中，我们可以看到如果A S ，0 ，Y ，= 0 ，而如果置= 0 ， 0 。2 2 索- 结构作为“机械互补凇弛系统”建模2 2 1 互补松弛系统公式如果索性质可作为w o r k - h a r d e n i n g 假定，则索结构可作为“机械互补松弛系统”建模我们考虑 的第二个例子，带索的桅杆将作为“互补一松弛系统”建模。文献 1 7 ，1 8 】对这类系统进行了定义，即 i y 嚣。芝0 ，2 Y 鬟0，【，“，2 甜=2 3 2 仞2 ：带索的桅杆P e t e r s e n 曾经采用微分- 代数方程对带索的桅杆进行了研究【1 9 ，并在这个模型中发现当风作用 时，桅杆可能发生空间混沌振动，但他没有考虑索松弛现象。本文基于P e t e r s e n 模型发展了一个采 用互补松弛系统描述的新模型。土慨一鹏一帆一眦一一；删一一一：一苎三生竺里竺塑墨三墨兰查垒垫垒奎塞( 1 ) P e t e r s e n 模型在【1 9 】中，给出带索桅杆的空问振动方程如下：J m 吃+ 4 也+ 畋醒+ R 。= C ( f ) 1 研彬+ d , f v y + d 2 w Z y + B = ( f )1 1 式中，m 是有效质量；d l 和d 2 为阻尼系数；R x 和R y 在x 方向和Y 方向的恢复力分虽； K 和表示在x 方向和y 方向的桅杆位移分虽；C 和是风荷载在x 方向和y 方向的分量。图3 给出P e t e r s e n 模型简单结构图。此地，r 是桅杆到索锚定点的距离。引进无量纲变量 和r l ，令善2 W x r ，a n d1 1 = W y r ，则方程( 11 ) 能写成如下无量纲形式：I 宇+ 鲁乎+ 等善2 + 随c 。s 西一夏c 。s f l 一+ S 一，c o s 尹) 。：只o ) 删J脚所+l 疗+ d - 研 k 0 + d m 2 _ 坚_ r 冲2 + ( _