第四节、空间向量及 0 重、难点提炼1. 空间向量及其有关概念 :(1) 空间向量:在空间,具有 的量叫做空间向时(2) 相等向量:在空间 的有向线段表示同一向量或相等的向量,(3) 共线向量(平行向量) :如果空间向量的有向线段所在的直线 ,则这些向量叫共线向量或平行向量. ae平行于5,记作 (4) 共线向量定理:对空间任意两个向量 改BKD天0),aN的充要条件是 . 推论:如果直线 ?为经过已知点 A且平行于已知非零向量 ,那么对任一点 O，点 P在直线由目的充表条件基若 P.AB 线,则存在实数使户 一TO;若 P为AB的中点,则?一的向量,叫共面向量; (6) 共面向量定理:如果两个向量 ,则向量p 与向量 ab 共面的充要条件是 ，使.推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要了市二 xzM 和店,或对空间ON了让!其由(cj是唯-的;(7) 空间向量基本定理:如果三个向量 .be不共面,那么对任一向量 ,存在 ,使 了一 . 其中a.be) 叫空间的一个 ,aq,b,c, 都叫 ，论 :设 OA、B、C是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存, 使(市 一 人1 太1+一六OU. 2. 空间向量的运算及运算律 :(1) 空间向量的加法 减法与数乘运算,如下图所示 ,满足如下运算律,一 8十4十oi (2) 两个向量的数量积:已类两个非堆向量 ob, 在空间是任取一点 0,作(及= ao 广一六则 叫向量 与3的夹角，记作 ，且有 ，q 及 一:若(q凡一卫,则称a与p ,并记作已知空间两多向鸭凡太则 叫做向量 ,bp的数量积.记作 5 叫向量了在向量a方向上的投影.已知向量A言 a和轴1,e是上与1同方向的单位向量，作点 A在1上的射影A, 点B在2上的射影 B ，则本 ,简称 ,且 AB 一 答案 1. (1) 大小和方向 2) 同向且等长 3) 互相平行或重合存的方向向量 1一必2(5) 平行于同二平面(6) 不共线 “存在实数对 zy p= za十油 ”存在有月实数对 zy 十y 一 二 y(7) 一个唯一的有序实数组基向量 惟一的有序实 2.(l1)a二b (aa十世十c Ma十加(2)一AOB ab 0委(q，ab| allp Sa叫向量A坟在轴 1 上或e方向上的正射影 AD 体验高考1. (2009。江西) 如右图,正四面体 ABCD 的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线 Ox,OyOz上 ,则在下列命题中3错误的为(A.O一ABC 是正三棱锥B. 直线 OB / 平面 ACDC.直线 AD 与 OB 所成的角是 45”D.二面角 D一OB一人为45? 答案:B解析: 如图,ABCD为正四面体，人ABC为等边三角形,又OA、OB、OOC 两两垂直,OA 上| 面 OBC,OA A上 BC,过O作底面 ABC 的重线,重足为 N,连结 AN 交BC于M,由三垂线定里可知 BC 证 MI人 M汶BCU昨去1同理可证,连结 CN 交 AB 于卫,则 卫为AB 中点, N为底面 人ABC 中心沪O一ABC 是正三棱锥,故 A 正确. 将正四面体 ABCD 放入正方体中,如图所示,显然 OB 与面 ACD 不平行,故选 B.