Y9 2 9 2 7 2，洳；：0 博士学位论文 论文题目查昱据赴簋王丛E H ! 丛直摆史菱王回遒盟班煎作者姓名盎擅蓥一指导教师臣匠匿一、堑丝监一学科( 专业) 睦螳嗟二一所在学院堡堂蔗一提空日期型独亟盘L 一中文摘要第一章中我们考虑R ”上强极大算子的可积性对舻上局部可积的函数，它的H L 极大函数定义为M ( ，) ( z ) = 娑I i Q f ( y ) l d y z 0J 其中Q 表示方体而它的强极大函数如下定义螈【，) ( z ) = 娑P 高二I m ) mz I lJ P其中P 表示边平行于坐标轴的矩形此外，定义多重极大算子M + ( ，) ( z ) = 矗帆( ，) ( z ) 其中屿表示第J 个坐标轴方向的一维H L 极大算子。当，有紧支集时，关于它的极大函数的可积性S t e i n 在f 6 6 】有个著名的结果：对任意有限测度集E ，M ( f ) L 1 ( E ) 当且仅当f L i n + L ( R n ) 另外J e s s e n - M a r c i n k i e w i c z Z y g m u n d 在【3 8 】中证明了：对任意有限测度集E ，M + ( f ) L ( E ) 当且仅当，L ( 1 n + L ) ”( R “) 这个结果也可参看F a v a - C a t t o G u t i 4 r e z 【3 1 】因为 如( ，) M + ( ，) ，所以当f Z ( 1 n + L ) “( 胛) 时对任意有限测度集E ，M s ( ，) L 1 ( E ) 。在文献【3 1 j 中他们猜测：如果对任意有限测度集E ，M s ( f ) L 1 ( E ) ，那么f L ( 1 n + L ) ”( 冗“) 在【1 】和【3 5 】中他们分别证明了存在许多函数，L I n + L ( R 2 ) 使得对任意有限测度集E ，M s ( f ) L 1 ( F ) 在第一章中我们用更简单的方法证明了他们的结果，更主要的是这里的方法适用于所有维数，而f l 】和f 3 5 】很难应用到高维欧氏空间。有趣的是高维空间对函数的要求和两维是一样的，我们主要证明了以下定理。定理1 _ 1 1 对任意紧支集函数f L I n + L ( R “) ，必存在函数9 L I n + L ( R n ) 使得( a ) g 和，有相同的分布函数；( b ) 对任意有限测度集E ，M s ( g ) L 1 ( E ) 这个结果公开发表之后，我们被告知在O n i a n i 的文章 5 2 】中包含了这里的结果，他的结果强一些，不过证明要复杂的多第二章中我们考虑一类日- 粗糙核极大奇异积分算子的弱( 1 ，1 ) 有界性对于，酬月4 ) 及n L 1 ( s “1 ) 满足屈一z n ( 。) 如= 0 ，定义T l2 ( ，) = 。嘛L 堕俨m 刊蛳在文献 8 J 中，C a J d e r 6 a 和Z y g m u n d 证明了如果n 三i n + L ( s “1 ) ，即I n ( z 川l n ( 2 + l n ( z 引) 副 1 ) 算子丑2 是弱型L 1 有界的。到了九十年代S e e g e r 发展了他们的方法，在文章【6 2 】中把【2 0 】的结果推广到n L I n + L ( S “1 ) ，d 2 。我们知道L l n + L ( S 4 1 ) cH 1 ( s 4 1 ) 。而算子当n H 1 ( s f o 1 ) 时是酽有界的，1 ( P 0 ，o 。是S 1 上标准的H 1 ( s 1 ) 原子满足s u p p ( a 。) ch ，。怯兰2 “且居- ( e ) d O = 0 。那么有| | 丑2 怯。L 。C 。N ：1h ，其中C 与和f 无关。在第二章中我们将证明在日1 ( s T l ) 工I n + L ( S 1 ) 内存在一类函数使得是弱型L 1 有界的，我们在第二章第二节证明如下定理定理212 用L 表示s 1 上以e 。为中心的弧，弧长为2 肪，两两互不相交且满足拈瞄s u p 。轰萨译日s 1 。暑玉。1 F 一6 n ri jn = PA 。，其中尹J h l 0 我们有：I T a ( f ) ( x ) l 划C A ( ：A 。) A 。1 其中常数C 和，A 及n 无关在第二章第三节中证明了定理21 3 如果P 。( o ，1 ) 且。肌 A ) l G P 。h1 1 1 1 1 其中C 是和，A 及n 无关的常数根据上面的定理我们有推论2 1 1 对任意单调递增函数妒：f 0 ，o o ) 一 o 。) 满足_ P ( o + ) = 0 ，如果有l i m 业： + t那么存在n H 1 一妒( L ) 使得丑t 是弱型L 1 有界的，其中v ( L ) = n ：上。妒( 阳) 问 1 使得h ( c t ) 2 h ( t ) ( V t ( 0 ，o 。) ) ，其中h ( t ) = 竹，( f ) 一7 ( ) ( b ) 1 是偶函数，则存在一个正常数c l 使得1 ，( c t ) 2 7 似) ( V t ( 0 ，o o ) )这个定理可参看文献【5 1 】，需要注意这里的条件蕴涵7 ，( 0 ) = 0 。以及条件”1 7 ( 删2 1 俅) ”可推出”h ( a ) 2 h ( t ) ”。定理3 1 2 如果西( 。，t ) = ( t ( z 1 ) 7 ( t ) ) ，其中= P 是实多项式，( n ) 7 C 3 ( 兄1 ) 是奇函数或者偶函数，在( o ，0 0 ) 上是凸的且7 ( o ) = 7 ，( 0 ) = 0 ，( 6 ) A ( ) = 等等单调递减且在( o ，o 。) 上有正的下界那么 b 是L 2 有界的而且l I H m l I L ：一口和多项式P 的系数无关。这个定理具体可参阅 5 ，其中特殊情形( z - ) = z 也可参阅文献【1 2 】在第三章中我们主要建立以下两个定理定理3 13 当西( z ，t ) = ( t ，咖( z 1 ) 1 ( t ) ) 时，存在C ”( R 1 ) 以及7 ( 奇或偶) 满足( 3 1 2 ) 一( 313 ) ，但是嘞，( = E b ) 不是L 2 ( R 2 ) 有界的事实上这里的可以是性质相当好的解析函数定理3 14 当圣( z ，) = ( t ，( z 1 ) 1 ( ) ) 时，如果= P 是R 1 上的实多项式，7 C 2 ( R 1 )且7 ( o ) = 7 ，( 0 ) = 0 ，- r “ ( t ) o ( t ( 0 ，o 。) ) 7 是奇或偶函数，另外如果再存在正数A 和M 使得鬻一籍尚t 篙) u ， 0 ) ，在古典C a l d e r d n Z y g m u n d 理论的绝大多数结论中都是必要条件。后来人们在研究P a i n l e v 6 问题的时候发现需要处理带非倍测度的复平面上C a u c h y 积分的L 2 有界性，最近十年来人们又逐渐发现只要我们对测度卢要求尺度条件( 411 ) ，那么即使没有双倍条件C a l d e r 6 n ，Z y g m a n d 理论中很大一部分经典结果仍然是成立的，例如奇异积分算子的各种有界性、T 1 定理以及T b 定理，相应工作可参见【4 7 ，4 8 ，4 9 ，5 0 ，7 1 ，7 2 ，7 3 ，7 4 ，7 5 ，7 6 ，7 7 ，8 1 】关于P a i n l e v d 问题以及非倍测度有许多很好的综述文章或专著，例如【2 4 ，5 3 ，7 8 ，8 2 。关于非倍测度空间中的极大奇异积分算子在各种空间上的有界性有许多工作，但是就我们所知，即使在L e b e s g u e 测度下，极大奇异积分算子在L 。或B M O 上的有界性也没有什么结果在第四章中我们分别建立了一般非倍测度下极大奇异积分算子在L 。和R B M O 上的有界性，一般情况下我们考虑奇异积分时都要求核k ( x ，Y ) 满足L i p s c h i t z 型光滑陆，在这里研究L o 。上极大奇异积分算子的性质时我们只要求核满足H 6 r m a n d e r 条件第五章考虑两维理想的不可压缩流体的E u l e r 方程象+ u V u = V PV “= 0z R 2 ，t ( 0 ，o o )u ( z ，0 ) = u o ( x )其中u = ( u l ( z ，t ) ，u 2 ( z ，t ) ) 和P = P ( z ，) 分别表示点( z ，t ) R 2 ( o ，。o ) 处的速度和压力u 被称为方程在( 0 ，o 。) 上初值为u o 的弱解，如果它满足下面条件：( o ) u L 毛。( R 2 ( o ，o 。) ) ；( b ) f u ( t ) ，V = o ，V 西q 尹( R 2 ) ，f ( 0 ，。) ；( c ) 伊厶。( u 筹+ 2 扛l 抛磐) 如出= 一厶。o “，o )v f 卵( 0 ，0 0 ) R 2 ) ) 且V ，= 0对于光滑的而且有有限能量的初始速度人们在上个世纪三十年代就知道方程存在唯一的全局解，这也是著名的B e a l e - K a t o - M a j d a 【4 ) 判别法的直接推论但是在平面上，初始速度有有限能量并不是合理的条件，这对初始涡量有过分严格的要求。而对没有有限能量的光滑初始速度直到上个世纪八九十年代人们才得到其解适定性的一些结果，这里所说的解的适定性指解的全局存在性、唯一性和对初值的连续依赖性。这方面最早的工作是K a t o 和P o n c e 在f 4 0 】中证明初始速度属于S o b o l e v 空间s p ( 1 1 + i ) 时解的适定性，这个结果也可参看【3 9 】。之后最重要的工作是S e r f a t i 在【6 3 】中证明初始速度属于C 5 ( 5 1 ) 时解的适定性。另外当初值属于B e s o v 空间时关于E u l e r 方程解的性质也有许多工作，例如B a h o u r i和C h e m i n 2 】，V i s h i k 8 3 ，8 4 ，8 5 】。给定初速“o B ；。，现在已经知道当s ：+ 1 时方程的解和古典解类似，其光滑性并不随着时间增长而减弱然而当s 1 ，P 1 ) ) M a j d a 在【4 4 】中获得了一个全局解存在的定理，在他和B e r t o z z i 合写的著作【7 】中略微改进了这个结果在【7 】p 1 5 3 他们证明了如下命题命题6 11 如果散度为零的轴对称无漩向量u o C s ( s 1 ) 的涡量u o = J o e o 满足( A )l u 8 l C r ( x ) ；( B ) u o 有一紧支集那么E u l e r 系统存在以u o 为初始速度的全局轴对称无漩解。在【5 7 】中R a y m o n d 得到了更强一些的结果。关于光滑解的存在性他证明了如下命题命题6 12 如果散度为零的轴对称无漩向量u o C 3 n 口( s 1 ，l 1 ) ，且l u o ( z ) I C r ( z )其中C 是个与z 无关的常数，那么不可压缩E