1考考点点 3 37 7 立立体体几几何何中中的的向向量量方方法法1.（2 20 01 13 3北北京京高高考考理理科科 1 17 7）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为 4 的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（1）求证：AA1平面ABC；（2）求二面角 A1-BC1-B1的余弦值；（3）证明：在线段 BC1存在点 D，使得ADA1B，并求的值.1BD BC【解题指南】（1）利用面面垂直证明线面垂直 .（2）建系，求出二面角对应两个面的法向量，利用法向量的夹角求二面角的余弦值.（3）设出 D 点坐标，利用向量解题 .【解析】（1）是正方形，。11A ACC因为1AAAC所以又，。11,ABCA ACCAC因为平面平面交线1AAABC所以平面（2），。4,5,3ACBCAB因为ACAB所以分别以为建立如图所示的空间直线坐标系。1,AC AB AA,xyz轴轴，轴则，111(0,0,4), (0,3,0),(4,0,4),(0,3,4)ABCB11(4,0,0)AC 1(0,3, 4)AB ，111(4, 3,0),(0,0,4)BCBB2设平面的法向量为，平面的法向量，11ABC1111( ,)nx y z11B BC2222(,)nxyz ，。1111100AC nAB n 所以11140340xyz 所以1(0,4,3)n 所以可取可得可取。1121200BC nBB n 由22243040xyz 2(3,4,0)n 。12 12 121616cos,5 525|n nn nnn 所以由图可知二面角 A1-BC1-B1为锐角，所以余弦值为。16 25（3）点 D 的竖轴坐标为 t(00)20(1)求证:CD平面 ADD1A1.(2)若直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为,求 k 的值.6 7(3)现将与四棱柱 ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同 ,则视为同一种拼接方案 ,问共有几种不同的拼接方案 ?在这些拼接成的新四棱柱中 ,记其中最小的表面积为 f(k),写出 f(k)的解析式.(直接写出答案 ,不必说明理由)【解题指南】运用几何法 ,通过证明 CD 垂直平面 ADD1A1的两条相交直线获证 ,建立空间直角坐标系 ,按线面角公式列式求 k,第三小题,要注意不同的叠法 ,不同的长度度量就发生了改变 ,从而影响表面积 .【解析】(1)取 CD 中点 E,连接 BE,因为 ABDE,AB=DE=3k,所以四边形 ABED 为平行四边形 ,所以 BEAD 且 BE=AD=4k.在BCE 中,因为 BE=4k,CE=3k,BC=5k,所以 BE2+CE2=BC2,所以BEC=90,即 BECD,又因为 BEAD,所以 CDAD.因为 AA1平面 ABCD,CD平面 ABCD,所以 AA1CD,又 AA1AD=A,所以 CD平面 ADD1A1.(2)以 D 为原点, 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ,则1,DA DC DDuu u r uuu r uuurA(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1),21所以，,( 4 ,6 ,0)ACkk uuu r1(0,3 ,1)ABkuuu r1(0,0,1)AA uuu r设平面 AB1C 的法向量 n n=(x,y,z),则由10,0,AC nAB nuuu ruuu r得取 y=2,得 n n=(3,2,-6k).460, 30, kxky kyz设 AA1与平面 AB1C 所成角为 ,则1 11,sin|cos,| | |AA nAA n AAn uuu ruuu r uuu r,解得 k=1.故所求 k 的值为 1. 266 73613kk (3)共有 4 种不同的方案2257226 ,0,18( )53636 ,.18 kkk f k kk k1 14 4. .（2 20 01 13 3广广东东高高考考理理科科 1 18 8）如图，在等腰直角三角形ABC中，A =90，BC=6，D,E分别是AC，AB上的点，CD=BE=，O为BC的中点.将ADE沿DE折起，得到如图所示的四棱椎2，其中.ABCDE3A O（1）证明：平面；A OBCDE（2）求二面角的平面角的余弦值ACDB【解题指南】本题以折叠问题为背景，考查线面垂直的证明及空间二面角的求法，对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变，求空间角则要注意空间向量的应用.【解析】（1）因为在中，A =90，BC=6，CD=BE=，O为BC的中点，故AD=AE=2Rt ABC2（即）；连接，在中，根据余弦定理可得22 2A DA E,DO EO,EBODCO，则222cos455DOEOBOBEBO BE3A O，,从而平面222222,A DA OODA EA OOE,A OOD A OOEODOEO=A O22；BCDE（2）方法一：过O作DC的垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面HA HA HOACDB角.在中，由此得，DCO11sin4522DCOSCD COCD OH3 2 2OH ，即二面角的平面角的余弦值为.6tan3A OA HOHO15cos5A HOACDB15 5方法二：设F为DE的中点，则两两垂直，以分别为轴的正方向建,OF OB OA,OF OB OA , ,x y z立空间直角坐标系，根据题意可写出平面中的三个点的坐标A CD，由此.设是平面(0,0, 3),(0, 3,0),(1, 2,0)ACD(0,3, 3),(1,1,0)CACD ( , , )x y zn的一个法向量，则即取，由此得，A CD0,0, CACDnn330, 0,yz xy1y (1, 1, 3)n是平面的一个法向量，即二面角(0,0, 3)OA BCD15cos,5| OAOAOAnnn的平面角的余弦值为.ACDB15 515. （2 20 01 13 3山山东东高高考考理理科科 1 18 8） 如图所示，在三棱锥 P-ABQ 中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，AQ=2BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与FQ 交于点 H，连接 GH. （）求证：AB/GH； （）求二面角 D-GH-E 的余弦值 .【解析】(1)因为 D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,所以 EFAB,DCAB.所以 EF/DC.又 EF平面 PCD,DC平面 PCD,所 以 EF平面 PCD.又 EF平面 EFQ,平面 EFQ平面 PCD=GH,所以 EFGH,又 EFAB,23所以 ABGH.(2)方法一:在ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ,所以ABQ=90,即 ABBQ.因为 PB平面 ABQ,所以 ABPB,又 BPBQ=B,所以 AB平面 PBQ,由(1)知 ABGH,所以 GH平面 PBQ.又 FH平面 PBQ,所以 GHFH.同理可得 GHHC,所以FHC 为二面角 D-GH-E 的平面角.设 BA=BQ=BP=2,连接 FC,在 RtFBC 中,由勾股定理得 FC=2,在 RtPBC 中,由勾股定理得 PC=5,又 H 为PBQ 的重心,所以 HC=PC=.1 35 3同理 FH=5.3在FHC 中,由余弦定理得 cosFHC= 552499 5529 即二面角 D-GH-E 的余弦值为.4 5方法二:由 AQ=2BD,D 为 AQ 的中点可得 ,ABQ 为直角三角形 ,以 B 为坐标原点 ,分别以 BA,BC,BP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 ,则 B(0,0,0),设A(2,0,0),P(0,0,2),Q(0,2,0),则 E(1,0,1),F(0,0,1),D(1,1,0),C(0,1,0),所以=(0,1,-2),PC =DC(-1,0,0),=(1,0,0),=(1,-2,1).FE QE 设平面 GCD 的一个法向量为=(x1,y1,z1),则 得1n110,0,n PCn DC A A11 1 120,(0,1,2),0,yznx取24设平面 EFG 的一个法向量为=(x2,y2,z2),则2n 2222220,0,20,0,n FExxyzn QE A A得取=(0,1,2),2n 可得 1244cos,555n n 因为二面角 D-GH-E 为钝角,所以二面角 D-GH-E 的余弦值为4 516. （2 20 01 13 3陕陕西西高高考考理理科科 1 18 8）如图, 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O平面ABCD, . 12ABAA() 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. OD1B1C1DACBA1【解题指南】线面垂直问题只需证直线 A1C 垂直平面 BB1D1D 内的两条相交直线即可 ;平面与平面的夹角需建系后 ,求得两个平面的法向量 ,代入公式即可求得 .【解析】(1)因为 A1O平面 ABCD,且 BD平面 ABCD,所以 A1OBD,又因为在正方形 ABCD 中,ACBD,且 A1OAC=O,所以 BD平面 A1AC 且A1C平面 A1AC,故 A1CBD.在正方形 ABCD 中,AO=1.在 RtA1OA 中,A1O=1.设 B1D1的中点为 E1,则四边形 A1OCE1为正方形,所以 A1CE1O.又 BD平面 BB1D1D,E1O平面 BB1D1D,且 BDE1O=O,所以可得 A1C平面 BB1D1D.(2)建立直角坐标系 ,使用向量解题。以 O 为原点，以为 X 轴正方向，以为 Y 轴正方向， 以为 z 轴正方向,建立直角坐标系OC OB B 1OA A 25如图,则.) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100(),001 (,0 , 1 , 0111CABACB，）（由(1)知, 平面BB1D1D的一个法向量.0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 (111）（OCOBCAn设平面OCB1的法向量为，则0, 0,2122OCnOBnn。).1- , 1 , 0(向向向2n为解得其中一个21221|,cos|cos2121 11 nnnnnn所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为317