垂径定理定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.OABCDMCDAB,如图 CD是直径,AM=BM, AC =BC,AD=BD.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.课堂讨论根据已知条件进行推导：过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 三个命题命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧.命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧.命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧.OAE B DC已知：AB是弦，CD平分AB，CD AB. 求证：CD是直径， ADBD，ACBC已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB.求证：CDAB，ADBD，ACBC已知：CD是直径，AB是弦，并且ADBD （ACBC）. 求证：CD平分AB，ACBC（ADBD）CD AB 根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论.注意要点 经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧1. 平分已知弧 AB .你会四等分弧AB吗?AB赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离 ）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题？OAB例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题？OABDCr 例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为 F,EF=90m.求这段弯路的半径.n解:连接OC.OCDEF(1)如图,已知O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 ,求弦 AB 的长.O AOCABM(2)如图,已知O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分, 交点为 M , 求 弦 AB 的长.6 30 EB（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥 拱的跨度AB=16米，则拱高为 米.ABCD4O船能过拱桥吗?例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题设得在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R3.9（m）. 在RtONH中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥.1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8 ,那么o的半径是 2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么 C到AB的距离等于 3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1, 那么O的半径为4.如图,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB= ,AC= ,OA=BAMCON51或96 4Cm练习：5.在中，、AC为互相垂直且相等的两条弦， 于，于求证：四边形是正方形1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示 .若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. ED 600CD在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽 AB = 600mm，求油的最大深度. BA O600 650DCED 600CDE小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件.CD ABOMNE.ACDBO.ABO