12010 高考数学备考之放缩技巧高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性 和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各 类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的 结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩一、裂项放缩例例 1.(1)求求的值的值; (2)求证求证:. nkk1214235112 nkk解析解析:(1)因为因为,所以所以 121 121 ) 12)(12(2 1422nnnnn122 121114212 nn nknk(2)因为因为,所以所以 121 12121444111222nnnnn35 321121 121 51 3121112 nnknkL奇巧积累:(1) (2) 121 1212144 441222nnnnn) 1(1 ) 1(1 ) 1() 1(2121 1nnnnnnnCCnn(3) )2(1 11 ) 1(1 !11 )!( !11rrrrrrnrnrn nCTrrr nr(4) 25 ) 1(1 231 12111)11 (nnnnL(5) (6) nnnn21 121 ) 12(21nnn221(7) (8) )1(21)1(2nnnnnnnnnnnn2) 32(1 2) 12(1 21 321 1221 (9) knnkknnnkknknk111 11 )1(1,111 11 )1(1(10) (11) !) 1(1 !1 !) 1(nnnn21 212121222)1212(21nnnnnnn(11) )2(121 121 ) 12)(12(2 )22)(12(2 ) 12)(12(2 ) 12(21112 nnnnnnnnnnnnnn(12) 111) 1(1) 1(1) 1)(1(11123 nnnnnnnnnnnn11112111111 nnnnnnn(13) 32 121 32122) 12( 332) 13(2221nnn nnnnnn(14) (15) !)2(1 !) 1(1 )!2()!1(!2 kkkkkk)2(1) 1(1nnnnn(15) 1 11)11)(1122222222 jijijijiji jiji例例 2.(1)求证求证:)2() 12(21 67 ) 12(1 51 311222nnnL2(2)求证求证: nn41 21 41 361 161 412L(3)求证求证:1122642) 12(531 642531 4231 21nnn LLL(4) 求证：求证：) 112(2131211) 11(2nnnL解析解析:(1)因为因为,所以所以 121 121 21 ) 12)(12(1 ) 12(12nnnnn)121 31(211)121 31(211) 12(112 nnini(2)111 (41)1 211 (41 41 361 161 41222nnnLL(3)先运用分式放缩法证明出先运用分式放缩法证明出,再结合再结合进行裂进行裂 121 2642) 12(531nnn LL nnn221项项,最后就可以得到答案最后就可以得到答案(4)首先首先,所以容易经过裂项得到所以容易经过裂项得到 nnnnn12)1(21nn131211) 11(2L再证再证而由均值不等式知道这是显然而由均值不等式知道这是显然21 212121222)1212(21nnnnnnn成立的，所以成立的，所以) 112(2131211nnL例例 3.求证求证: 351 91 411) 12)(1(62nnnnL解析解析:一方面一方面:因为因为,所以所以 121 12121444111222nnnnn35 321121 121 51 3121112 nnknkL另一方面另一方面: 1111) 1(1 431 32111 91 4112nn nnnnLL当当时时,当当时时,3n ) 12)(1(6 1nnn nn1n 21 91 411) 12)(1(6 nnnnL当当时时,所以综上有所以综上有2n 21 91 411) 12)(1(6 nnnnL351 91 411) 12)(1(62nnnnL例例 4.(2008 年全国一卷年全国一卷) 设函数设函数.数列数列满足满足.设设( )lnf xxxx na101a1()nnaf a，整数，整数.证明证明:.1(1)ba，11lnabkab1kab解析解析:由数学归纳法可以证明由数学归纳法可以证明是递增数列是递增数列,故存在正整数故存在正整数,使使,则则 nakm bam,否则若否则若,则由则由知知baakk1)(kmbam101baam3,因为因为,0lnlnln11baaaaammm kmmmkkkkaaaaaaa111lnln)ln(ln1 1bakaakmmm 于是于是bababakaak)(|ln|11111例例 5.已知已知,求证求证: .mmmm mnSxNmnL321, 1,1) 1() 1(11m nmnSmn解析解析:首先可以证明首先可以证明:nxxn1)1 (所以要证所以要证 nkmmmmmmmmkknnnnn111111111) 1(01)2() 1() 1(L只要证只要证: 1) 1() 1(11m nmnSmn nkmmmmmmmmmnkmnkmmkknnnnnkmkk111111111111111) 1(2) 1() 1(1) 1() 1() 1(L故只要证故只要证,即等价于即等价于 nkmmnkmnkmmkkkmkk1111111) 1() 1() 1(,即等价于即等价于mmmmmkkkmkk111) 1() 1() 1(11)11 (11 ,)11 (11mm kkm kkm而正是成立的而正是成立的,所以原命题成立所以原命题成立.例例 6.已知,求证求证:.nn na24 nnnaaaTL212 23321nTTTTL解析解析:)21 (2) 14(34 21)21 (2 41)41 (4)222(444421321nnnn nn nTLL所以所以123)2(22 23 223423232 3422234 342)21 (2) 14(342211 11 11 nnnnnnnnnnnnnnnnT 121 121 23 ) 12)(122(2 231nnnnn从而从而 23 121 121 71 31 311231321 nnnTTTTLL例例 7.已知已知,求证求证:11x ),2( 1), 12(ZkknnZkknnxn*)(11(21114122454432NnnxxxxxxnnL证明证明: ,因为因为nnnnnnxxnn222141141) 12)(12(11424244122 ,所以所以12nnn)1(2122214122nnnnnxxnn所以所以*)(11(21114122454432NnnxxxxxxnnL二、函数放缩二、函数放缩4例例 8.求证：求证：.)(665333ln 44ln 33ln 22ln*Nnnn nn L解析解析:先构造函数有先构造函数有,从而从而 xxxxx11ln1ln)31 31 21(1333ln 44ln 33ln 22lnnn nn LL因为因为 nnnn31 121 21 91 81 71 61 51 41 31 21 31 31 21LLL65 33 323 279 189 93 63 65111nnnnn L所以所以 6653651333ln 44ln 33ln 22lnnnnn nn L例例 9.求证求证:(1)2() 1(212ln 33ln 22ln, 22 nnnn nn L解析解析:构造函数构造函数,得到得到,再进行裂项再进行裂项,求和后可求和后可xxxfln)(22lnln nn nn ) 1(1111ln222nnnnn以得到答案以得到答案函数构造形式: ,1ln xx)2( 1lnnn例例 10.求证求证: nnn1 211) 1ln(11 31 21LL解析解析:提示提示:2ln1ln1ln12 11ln) 1ln(LLnn nn nn nnn函数构造形式: xxxx11ln,ln当然本题的证明还可以运用积分放缩当然本题的证明还可以运用积分放缩如图如图,取函数取函数, xxf1)(首先首先:,从而从而, ninABCFxS1)ln(ln|ln11innxxinn innin 取取有有,1i) 1ln(ln1nnn所以有所以有,相加后可以得到相加后可以得到: 2ln212ln3ln31) 1ln(ln1nnnnnnln) 1ln(11) 1ln(11 31 21nnL另一方面另一方面,从而有从而有 ninABDExS1)ln(ln|ln11innxxiinn innin 取取有有,1i) 1ln(ln11nnn所以有所以有,所以综上有