- 1 - / 10线性代数冲刺笔记线性代数冲刺笔记【例题 1 1】B B，A A22ABAB E E，r(ABAB2BABA3A A) （ ） 50030021 a（A）1 （B）2 （C）3 （D）与 a 有关【解】 A A(A A2B B) E E A A 可逆，且 A A1 A A2B BA A(A A2B B) (A A2B B) A A (A A A A1 A A1 A A)ABAB BABA那么，ABAB2BABA3A A 3A AABAB A A(3E EB B)又，A 可逆，知r(ABAB2BABA3A A) r(A A(3E EB B) r(3E EB B)a 有|3E EB B|0，又 3E EB B 有二阶子式不得零，从而 r(3E EB B) 2.【评注】 本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法. 设矩阵 An 阶，Bn 阶，若 AB BA E，则称矩阵 A 可逆，且 B 为 A 的逆矩 阵.由此有 A A1 A1 A.【例题 2 2】A Amn，1，2，t是 AxAx 0 0 的基础解系， 是 AxAx b b 的一个解.(I)证明 ，1，2，t线性无关.(II)证明 AxAx b b 的任意一个解都可以由 ，1，2，t线性表出.【分析】1，2，t是 AxAx0 0 的基础解系，那么 1，2，t必定线性无关，从而证明，1，2，t线性无关可以用定义法。 【证】(I)（用定义，重组，同乘）设 k0k1 (1)k2(2) kT(t)0 0 (1)即 （k0k1k2kT）k11k22kT t0 0(2)由 AAb b， AAi0 0（i1，t） ，用 A A 左乘（2） ，有(k0k1k2kt)AAk1AA1k2AA2ktAAt0 0即 (k0 k1k2 kt)b b0 0又 b b0 0，有 k0k1k2kT0(3)带入(2)有 k11k22ktt0 0，而 1，2，t是 AxAx0 0 的基础解系，那么 1，2，t必定线性无关，从而 k1 k2 kt0，带入(3)有 k00.所以 k0k1k2kt0，1，2，t线性无关.（或用秩）1，2，t线性无关， 是 AxAxb b 的解 不能由 1，2，t线性表出.x x11x x22x xtt 无解r(1，2，t)r(1，2，t，)r(1，2，t) tr(1，2，T，)t1r(，1，2，t)t1，1，2，t线性无关.(II)设 是 AxAxb b 的任意一个解，则 是 AxAx0 0 的解.从而 l11l22ltt .l11l22lt t (1l1 l2 lt)l11l22lt t- 2 - / 11即 可由 ，1，2，t表出.【评注】 本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的概念： 设有向量小组1，2，t满足：(1) Ai 0 0（i =1，t） ，即i 是 Ax 0 0 的解. (2) Ax 0 0 的任意一个解都可以由1，2，t表出. (3) 1，2，t线性无关. 那么称1，2，t为 Ax 0 0 的基础解系. 也就是说若1，2，t 是 Ax 0 0 的基础解系，那么1，2，t必满足上述 3 条。【例题 3 3】A Amn，r(A A)n，1，2，s是 n 维列向量.证明：1，2，s线性无关的充分必要条件是 AA1，AA2，AAs线性无关. 【证】必要性（用定义）设 k1AA1k2AA2ks AAs0 0，即 A A(k11k22 ks s)0 0.由 A Amn，r(A A)nAxAx0 0 只有零解.故 k11k22ks s0 0，又 1，2，s线性无关k0k1k2ks0.从而 AA1，AA2，AAs线性无关.充分性（用秩）因为 AA1，AA2，AAsA A(1，2，s)，所以r(AA1，AA2，AAs)r(A A(1，2，s)r(1，2，s)由 AA1，AA2，AAs线性无关知 r(AA1，AA2，AAs)s.而 r(1，2，s)s，从而 r(1，2，s)s 1，2，s线性无关.【例题 4 4】设 A A1，2，3，4，AxAx 的通解是1，2，1，1 Tk1，3，2，0T，B B3，2，1，4，13253，(I) 1能否由 2，3线性表出？(II) 4能否由 1，2，3线性表出？(III) BxBx 求的通解.【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的.【证】(I) AxAx 解的结构知 r(A A)3.由 A A0 0 132230 01能由 2，3线性表出.0231(II) 设 x11x22x33 4由(I)知 r(1，2，3)3，而 r(1，2，3，4)4，知方程组无解，故 4不能由 1，2，3线性表出.(III)由 A A1 22 34，1121那么 B B3，2，1，43，2，1，12234 r(B B)4.从而 nr(B B)2.- 3 - / 11因为3，2，1，1 223413253 0135所以5，3，1，0 T是 BxBx 的一个解.由(I)知 132230 0，从而3，2，1，122 340 0，用观察法，取另一个向量使得它与2，3，1，0 0132T线性无关，即3，2，1，122340 0，所以 BxBx 的通解是11215，3，1，0 T k12，3，1，0 T k21，2，1，1 T，其中 k1，k2为任意常数.【评注】 本题考查了方程组解的结构以及在方程组矩阵未具体给出的时候如何求解方程组的 通解.根据题目信息求出系数矩阵的秩后，会用方程组解的理论拼出解得基本形式，要 会用观察法得到特解，和线性无关的解向量. 例如本题在选取齐次方程组基础解系时，先由已知条件得到一个解向量 2，3，1，0 T，然后只要另一个解向量的形式为，1，1 T，那么这两个向 量必定线性无关，从而可以作为基础解系.【例题 5 5】A A 1，2，3，10 0 满足 ABAB0 0.其中 B B，求 1，2，3的一个极大线性无关组,并用它表出 k63642321其他向量.【分析】从 ABAB0 0 要得想到两方面的信息：(I) r(A A)r(B B)n (II) B B 的列向量均是 AxAx0 0 的解.【解】由 ABAB0 0r(A A)r(B B)3.因为 A A0 0，B B0 0 知 1r(A A)2，1r(A A)2当 k 9 时，r(B B)2，从而 r(A A)1，此时极大无关组为 1.由 ABAB0 0 得(k9)30 0 0640642032321321321k又 k9，故 30 0，301.当 k9 时，r(B B)1，从而 r(A A)1 或 2.若 r(A A)1，则极大无关组为 1，由 1223340 01312t2131，t若 r(A A)2，则极大无关组为 1，2（1，2必定线性无关，否则 r(A A)1）21331 31- 4 - / 11【例题 6 6】设 A A，r(A A)2，则 A A* x x0 0 的通解是_. aa41210321【分析】若 A A 为 n 阶方阵，则，从而由 r(A A)2 知 r(A A*)1，又|A A|0，得 A A* A AA A 11 01*nArnArnArn Ar ）（）（）（， ）（A A*|A A|E E0 A A 的列向量是 A A* x x0 0 解.由解的结构知应填 k1， T k2， T的形式.【解】而由 r(A A)2 知 r(A A*)1，所以通解由 nr(B B)312 个解向量构成.又|A A|0，得 A A* A AA A A A*|A A|E E0 0A A 的列向量是 A A* x x0 0 解.即 1，0，1 T ，2，1，a T ，3，2，4a T.又2，1，a T 3，2，4a T5，4，3 T，显然1，0，1 T与5，4，3 T线性无关，故 k11，0，1 Tk25，4，3 T是A A* x x0 0 的通解，其中 k1，k2为任意常数.【例题 7 7】设 1，2，3是 AxAxb b 的解，r(A A)3，若 121，2，3，4 T，2232，3，4，5 T，则 AxAxb b 的通解是_.【解】由 r(A A)3 知 AxAx0 0 的通解由 nr(B B)431 个解向量构成.从而3(12)2(223)是 AxAx0 0 的解，即1，0， 1，2 T(223