24.424.4 弧长和扇形面积弧长和扇形面积( (第第 2 2 课时课时) )教学内容教学内容1圆锥母线的概念2圆锥侧面积的计算方法3计算圆锥全面积的计算方法4应用它们解决实际问题教学目标教学目标了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会 应用公式解决问题通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应 用它解决现实生活中的一些实际问题重难点、关键重难点、关键1重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式2难点：探索两个公式的由来3关键：你通过剪母线变成面的过程教具、学具准备教具、学具准备直尺、圆规、量角器、小黑板教学过程教学过程一、复习引入一、复习引入1什么是 n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点 2问题 1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受 重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由 几部分组成的老师点评：（1）n圆心角所对弧长：L=，S扇形=，公式中没有 n，而180n R2360n R是 n；弧长公式中是 R，分母是 180；而扇形面积公式中是 R，分母是 360，两者要记清， 不能混淆（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，圆柱的侧面积 和底圆的面积这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面积， 到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它二、探索新知二、探索新知我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥 顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线（学生分组讨论，提问二三位同学） 问题 2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得 到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为 L，底面圆的半径为 r，如图 24-115 所示，那么这个扇形的半径为_，扇形的弧长为_，因此圆锥的侧面积 为_，圆锥的全面积为_老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积 S=，其中 n 可由 2r=求2360n l2180n l得：n=，扇形面积 S=rL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成360r l2360360rll 的，所以全面积=rL+r2例例 1 1圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为 58cm，高为 20cm，要制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到 0.1cm2）分析：要计算制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面 积解：设纸帽的底面半径为 rcm，母线长为 Lcm，则r=58 2L=22.032258()202S纸帽侧=rL5822.03=638.87（cm）1 2638.8720=12777.4（cm2）所以，至少需要 12777.4cm2的纸例例 2 2已知扇形的圆心角为 120，面积为 300cm2（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？分析：（1）由 S扇形=求出 R，再代入 L=求得 （2）若将此扇形卷成一个2360n R 180n R圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径， 圆锥母线为腰的等腰三角形 解：（1）如图所示：300=2120 360RR=30弧长 L=20（cm）12030 180（2）如图所示：20=20rr=10，R=30AD=20900 1002S轴截面=BCAD1 2=21020=200（cm2）1 222因此，扇形的弧长是 20cm 卷成圆锥的轴截面是 200cm22三、巩固练习三、巩固练习教材 P124 练习 1、2四、应用拓展四、应用拓展例例 3 3如图所示，经过原点 O（0，0）和 A（1，-3） ，B（-1，5）两点的曲线是抛物 线 y=ax2+bx+c（a0）.（1）求出图中曲线的解析式；（2）设抛物线与 x 轴的另外一个交点为 C，以 OC 为直径作M，如果抛物线上一点 P 作M 的切线 PD，切点为 D，且与 y 轴的正半轴交点为 E，连结 MD，已知点 E 的坐标为 （0，m） ，求四边形 EOMD 的面积（用含 m 的代数式表示） （3）延长 DM 交M 于点 N，连结 ON、OD，当点 P 在（2）的条件下运动到什么位置时， 能使得 S四边形 EOMD=SDON请求出此时点 P 的坐标解：（1）O（0，0） ，A（1，-3） ，B（-1，5）在曲线 y=ax2+bx+c（a0）上0 3 5c abc abc 解得 a=1，b=-4，c=0图中曲线的解析式是 y=x2-4x （2）抛物线 y=x2-4x 与 x 轴的另一个交点坐标为 c（4，0）, 连结 EM，M 的半径为 2，即 OM=DM=2ED、EO 都是M 的切线EO=ED EOMEDMS四边形 EOMD=2SOME=2OMOE=2m1 2（3）设点 D 的坐标为（x0，y0）SDON=2SDOM=2OMy0=2y01 2S四边形 ECMD=SDON时即 2m=2y0，m=y0m=y0EDx 轴又ED 为切线D（2，2）点 P 在直线 ED 上，故设 P（x，2）P 在圆中曲线 y=x2-4x 上2=x2-4x 解得：x=24168 26P1（2+，0） ，P2（2-，2）为所求66五、归纳小结（学生归纳，老师点评）五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1什么叫圆锥的母线2会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题六、布置作业六、布置作业1教材 P124 复习巩固 4 P125 综合运用 8 拓广探索 9、102选用课时作业设计第二课时作业设计第二课时作业设计一、选择题一、选择题1圆锥的母线长为 13cm，底面半径为 5cm，则此圆锥的高线为（ ）A6cm B8cm C10cm D12cm2在半径为 50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径 为 80cm，母线长为 50cm 的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ）A228 B144 C72 D363如图所示，圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，A 是底面圆周上一点，从点 A 出发 绕侧面一周，再回到点 A 的最短的路线长是（ ）A6 B C3 D333 3 23二、填空题二、填空题1母线长为 L，底面半径为 r 的圆锥的表面积=_2矩形 ABCD 的边 AB=5cm，AD=8cm，以直线 AD 为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积 是_（用含的代数式表示）3粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为 36m，母线长为 8m，为防雨需在粮仓顶部铺 上油毡，如果按用料的 10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用_m2 的油毡三、综合提高题三、综合提高题1一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是 40cm，母线长是 120cm，需要加工这样的一个 烟囱帽，请你画一画：（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少 应是多少？ 2如图所示，已知圆锥的母线长 AB=8cm，轴截面的顶角为 60，求圆锥全面积3如图所示，一个几何体是从高为 4m，底面半径为 3cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得 到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个 几何体的表面积答案答案: : 一、1D 2C 3C 二、1r2+rL 21 30cm2 3158.4三、1 （1）2400cm2 （2）40cm3248cm2 3S表=S柱侧+S柱底+S锥侧=234+32+35=24+9+15=48cm2 课后教学反思：课后教学反思：_ _ _ _ _