1手机“套餐”最优消费的数学模型摘要近年来，手机用户群增加，通讯公司纷纷推出了自家的促销计划，研究了现行的 手机套餐优惠计划,建立话费和通话时间的数学模型, 提出了新的套餐的设置建议。 首先列出话费和通话时间的分段函数，并应用 matlab 软件画图分析北京和上海各 “套餐”的话费情况,解决了每种“套餐”适用于哪种人群。 然后应用层次分析法,通过计算结果比较了北京、上海“套餐”和现行的资费（全 球通）的优劣,通过比较可知上海“套餐”是最优的“套餐” ，并依此对三者进行分析、 比较，给出了合理的评价 再次应用 matlab 软件画出现行全球通、新推出的全球通“被叫全免费计划”与北 京全球通“畅听 99 套餐”方案的话费与通话时间关系图。对新的套餐方案做出了评价 并说明了理由。 最后应用层次分析法，并参照 2007 年中国通信业统计资料和中国移动手机的资费 方案，以及北京、上海的实际情况设计出了合理的“套餐”方案，命名为“2008 年奥 运卡” 。关键词:分段函数 Matlab 软件 层次分析法 正互反矩阵21问题重述手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，所以资 费问题成为人们关心的热点问题，即在相同的通话时间，最少的话费，相同的话费， 最长的通话时间。现在提供了几种不同的套餐和业务，建立数学模型分析研究以下问 题： （1）北京、上海各“套餐”方案的资费，并针对不同（通话量）需求的用户，分 析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？ （2）提出你们对各种资费方案的评价准则和方法，据此对北京、上海推出的“套 餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。 （3）北京移动公司 2007 年 5 月 23 日又推出了所谓的全球通“被叫全免计划”方 案，即月租 50 元，本地被叫免费，其他项目资费同现行的资费标准，还要求用户至少 在网一年。你们又如何评价这个方案？并说明理由。 （4）如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机资费方案，你们会考虑哪些 因素？根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有的“套餐”方案运营 商的收入降低不超过 10%的条件下，用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐” 方案。2问题假设2.1 在画分段函数图形时不考虑相同资费影响。 2.2 全球通与动感地带、神州行是并列的独立的。 2.3 北京上海的套餐上没有标明的资费按全球通现行资费标准收费。3名词解释和符号说明3.1层次分析法简介层次分析法（AHP）是 20 世纪 70 年代初由美国运筹学家、匹兹堡大学教授 T.L.Saaty 提出的一种定性分析和定量分析相结合的系统分析方法，它是将半定性、半 定量的问题转化为定量计算的一种行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层 次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据，它特别 适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题，因此在资源分配、选优排序、政策 分析、冲突求解以及预报等领域得到广泛的应用。 层次分析法的基本思想是：根据多目标评价问题的性质和总目标把问题本身按层 次进行分解，构成一个由下而上的阶梯层结构。层次分析法的基本步骤为： 明确问 题 建立层次结构模型 构造判断矩阵 层次单排序 层次总排序，通过以上 5 个步骤计算各层次构成对于总目标的组合权重，从而得出不同可行方案的综合评价值， 为选择最优方案提供依据。33.2 正互反矩阵：判断矩阵具有下述性质：10,1;( ,1,2,)ijjiii ijaaai jna称满足上述性质的矩阵为正互反矩阵。A3.3 符号约定：总话费y总通话时间x目标层O准则层C措施层P一致性比率CR一致性指标CI随机一致性指标RI-矩阵iA-判断矩阵的权重iW-最大特征值max4 模型建立4.1 问题一的分析、建模与求解商家都是以赢利为目的，通讯公司的做法无可厚非。作为一个普通消费者，应该根据自身实际情况理性选择套餐方案。以下是根据总话费和通话时间建立数学模型。由附件二（中国移动手机的资费方案）分析可知，由于用户每月打电话分钟数不定即是否超出套餐部分本地主叫资费不定，所以话费与通话时间函数为分段函数（给出函数表达式时，相同 IP 资费不予考虑） 。数学模型如下：设 y 为总花费（元） ；x 为总通话时间（分）i4.1.1 北京移动公司全球通“畅听 99 套餐”方案（1）99 元套餐： )280)(280(35. 099)2800(991xxxy4（2）139 元套餐： )560)(560(25. 0139)5600(1391xxxy（3）199 元套餐： )1000)(1000(2 . 0199)10000(1993xxxy（4）299 元套餐： )2000)(2000(15. 0299)2000(2994xxxy由(1)(4)式子可用 matlab 软件画出：北京“畅听 99 套餐”时间与话费关系图图 1 北京“畅听 99 套餐”时间与话费关系图备注：使用时间 x 为取整法得到的结果。图 1Matlab 程序见附录 1。由图 1 分析可知： a、99 元套餐 ，此套餐适合日平均通话 13 分钟左右的用户群。3950 x b、139 元套餐 ，此套餐适合日平均通话 1327 分钟左右的用户800395 x 群。 c、199 元套餐，此套餐适合日平均通话 2750 分钟左右的用户1500800 x 群。5d、299 元套餐 x1500，此套餐适合日平均通话 50 分钟以上的用户群。 4.1.2 上海移动公司“全球通 68 套餐”方案：68 元套餐：（1） )360)(360(18. 068)3600(681xxxy128 元套餐： （2） )800)(800(16. 0128)8000(1282xxxy188 元套餐：（3） )1200)(1200(13. 0188)12000(1883xxxy同理由（1）（3）式子可用 matlab 软件画出：上海“全球通 68 套餐” 时间与 话费关系图图 2 上海“全球通 68 套餐” 时间与话费关系图备注：使用时间 x 为取整法得到的结果。图 2 的 Matlab 软件程序见附录 2由图分析可知：a、68 元套餐 ，此套餐适合日平均通话 23 分钟左右的用户群。6930 x b、8 元套餐 ，此套餐适合日平均通话 2339 分钟左右的用户群。1175693 x c、188 元套餐 x1175, 此套餐适合日平均通话 39 分钟以上的用户群。64.2 问题二的分析、建模与求解以主叫、被叫、IP、短信、GPRS 作为对各种资费方案的评价准则，应用层次分析 法，建立以后的层次结构模型。 参考附件二（中国移动手机的资费方案） （1） 顾客的满意度，可以建立起本问题的层次结构模型，如图顾客满意度主叫 c1GPRS c5短信 c4IP c3被叫 c2北京 99 套 餐 p1现行全球 通 p3上海 68 套 餐 p2目标层 O准则层 C措施层 P图中的连线反映了各因素的关联关系 （2） 构造 O-C、C-P 判断矩阵关于的确定 T.L.Saaty 引用了数字及其倒数作为标度。参见表 1。ija917表 1 判断矩阵标度及含义 标度含义1 3 5 7 9 2，4，6，8倒数jia表示两因素相比，具有“同样”的重要性 表示两因素相比，前一因素比后一因素“稍微”重要 表示两因素相比，前一因素比后一因素“明显”重要 表示两因素相比，前一因素比后一因素“强烈”重要 表示两因素相比，前一因素比后一因素“极端”重要 上述两相邻判断的中值因素 与因素比较得出判断，则因素与因素 比较得出ijijaji判断jia目标层 0 对准则层 C 的判断矩阵：（matlab 程序见附录 3）18/122/19/1816322/16/115/17/123/1513/192/17311A准则层 C 对措施层 P 的判断矩阵 14/124132/13/112A 15/15/15115113A 1121122/12/114A 1111111115A 119/1119/19916A（3） 判断矩阵的一致性检验。利用 matlab 求出最大特征值（求此值的 Matlab 程序见附件 3）RI 的值由表 2 可max查得8表 2 平均随机一致性指标RIn1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.511max nnCI RICICR 把 CR 的结果于 0.1 作比较可以判断其一致性表 3判断矩阵nmaxCIRICRA155.22150.05541.120.0494A233.10780.05390.580.0900A333.00000.00000.580.0000A433.00000.00000.580.0000A533.00000.00000.580.0000A633.00000.00000.580.0000 可见，6 个判断矩阵的一致性比率有 CR v,d=eig(A1) v =0.9154 0.9154 0.9154 0.1999 -0.1000 - 0.1731i -0.1000 + 0.1731i0.3493 -0.1747 + 0.3025i -0.1747 - 0.3025i d =3.0183 0 0 0 -0.0091 + 0.2348i 0 0 0 -0.0091 - 0.2348i v=1/1.4646*0.9154 0.1999 0.3493 v = 0.6250 0.1365 0.238A2=1 1/2 1/9 1/8 1/7 2 1/5;2 1 1/7 1/5 1/4 3 1/4;9 7 1 2 3 6 4 ;8 5 1/2 1 2 5 3 ;7 4 1/3 1/2 1 3 1; 1/2 1/3 1/6 1/5 1/3 1 1/3;5 4 1/4 1/3 1 3 1 A2 Columns 1 through 61.0000 0.5000 0.1111 0.1250 0.1429 2.00002.0000 1.0000 0.1429 0.2000 0.2500 3.00009.0000 7.0000 1.0000 2.0000 3.0000 6.00008.0000 5.0000 0.5000 1.0000 2.0000 5.00007.0000 4.0000 0.3333 0.5000 1.0000 3.00000.5000 0.3333 0.1667 0.2000 0.3333 1.00005.0000 4.0000 0.2500 0.3333 1.0000 3.0000Column 7 0.20000.25004.00003.00001.00000.33331.0000v,d=eig(A2) v =Columns