6.4 空间角和距离一、知识导学1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算.2掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法.二、疑难知识导析1求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角.2求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等.3空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质） ，也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得 2rRd4球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆.5要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用.三、经典例题导讲例 1平面 外有两点 A,B，它们与平面 的距离分别为 a,b，线段 AB 上有一点 P，且AP:PB=m:n，则点 P 到平面 的距离为_.错解： .namb错因：只考虑 AB 在平面同侧的情形，忽略 AB 在平面两测的情况.正解： .|na或 |例 2与空间四边形 ABCD 四个顶点距离相等的平面共有_个.错解：4 个.错因：只分 1 个点与 3 个点在平面两侧.没有考虑 2 个点与 2 个点在平面两侧.正解：7 个.例 3一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）A. B. C. D. 293279310273错解：A、B、C.由过 D 或 E 作面 ABC 的平行面，所截体计算而得.正解：D.当平面 EFD 处于水平位置时，容器盛水最多2121sin33hASBSDEhSVABDESABCDEF 74121最多可盛原来水得 1 374例 4斜 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 底 面 是 边 长 为 a 的 正 三 角 形 ， 侧 棱 长等 于 b， 一 条 侧 棱 AA1与 底 面 相 邻 两 边 AB、 AC 都 成 450角 ， 求 这 个 三棱 柱 的 侧 面 积 .错 解 ： 一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过 BC 作平面与 AA1垂直于 M”；三是由条件“A 1AB=A 1ACAA 1在底面 ABC 上的射影是BAC 的平分线”不给出论证.正 解 ： 过 点 B 作 BM AA1 于 M， 连 结 CM， 在 ABM 和 ACM 中 ， AB=AC， MAB=MAC=45 0，MA 为公共边，ABMACM，AMC=AMB=90 0，AA 1面 BHC，即平面 BMC 为直截面，又BM=CM=ABsin450= a，BMC 周长为 2x a+a=(1+ )a，且棱长为 b，S 侧 =(1+22)ab2例 5已知 CA平面 ，垂足为 A；AB ，BDAB，且 BD 与 成 30角；AC=BD=b，AB=a.求 C，D 两点间的距离.解 : 本题应分两种情况讨论：（1）如下左图.C，D 在 同侧：过 D 作 DF，垂足为 F.连 BF，则 于是,30DBF.221bBF根据三垂线定理 BDAB 得 BFAB.在 RtABF 中，AF= 2432baBFA过 D 作 DE AC 于 E，则 DE=AF，AE=DF= .所以 EC=AC-AE= b- = .故2b2bCD= 243222 )(aaAFCCb (2)如上右图.C，D 在 两侧时：同法可求得 CD= 23ba点 评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解.例 6 （06 年湖北卷）如图，在棱长为 1 的正方体中， 是侧棱 上的一点，1DCBApC.mP（1）试确定 ，使得直线 与平面 所AP1BD成角的正切值为 ；23（2）在线段 上是否存在一个定点 ，使得1CQ对任意的 ， 在平面 上的射影垂直于 .mQD1APAP并证明你的结论.解：解法一（1）连 AC，设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面 相交于点，,连1BD结 OG，因为PC平面 ，平面 平面 APCOG,1BD1B故 OGPC ，所以，OG PC .2m又 AOBD,AOBB1，所以 AO平面 ，1D故AGO 是 AP 与平面 所成的角. 1B在 Rt AOG 中，tan AGO ，即 m .23GOA31所以，当 m 时，直线 AP 与平面 所成的角的正切值为 .311BD2（2）可以推测，点 Q 应当是 AICI 的中点 O1，因为D1O1A 1C1, 且 D1O1A 1A ，所以 D1O1平面 ACC1A1，又 AP 平面 ACC1A1，故 D1O1AP.OD1 C1CDA BA1 B1 PG那么根据三垂线定理知，D 1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直。解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1，0 ，0)，B(1，1，0)，P(0，1， m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B 1(1，1，1) ，D 1(0，0，1)所以 1(,)(,)(,)(,).BAPmC又由 知， 为10,0ACDB平面 的一个法向量。1B设 AP 与平面 所成的角为 ，则1。依题意有2sinco()2APCm解得 。故当 时，直线 AP 与平面 所成223,1()m131BD的角的正切值为 。（2）若在 A1C1 上存在这样的点 Q，设此点的横坐标为 ，则 Q(x，1 ，1)，xx。依题意，对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于1(,0)DQxAP，等价于 D1QAP 即 Q 为 A1C1 的10()0.2P中点时，满足题设要求。例 7在梯形 ABCD 中，ADC=90，ABDC，AB=1，DC=2， ，P 为平面ABCD 外一点，PAD 是正三角形，且 PAAB，求：（1）平面 PBC 和平面 PAD 所成二面角的大小；（2）D 点到平面 PBC 的距离解: （1）设 ADBC=E，可知 PE 是平面 PBC 和平面 PAD 的交线，依题设条件得 PA=AD=AE，则EPD=90，PDPE又 PAAB，DAAB，故 AB平面 PAD DCAB， DC平面 PAD由 PEPC 得 PEPD，DPC 是平面 PBC 与平面jPO1D1 C1B1A1D CBAzyxPAD 所成二面角的平面角 ，DC=2，tan ，2PD2PDC2arctnDPC（2）由于 PEPD，PEPC，故 PE平面 PDC，因此平面 PDC平面 PBC，作 DHPC，H 是垂足，则 DH 是 D 到平面 PBC 的距离在 RtPDC 中， ，DC=2， ， 2P6PC32PCDH平面 PBC 与平面 PAD 成二面角的大小为 arctan ，D 到平面 PBC 的距离为 .2例 8 半径为 1 的球面上有 A、B、C 三点，A 与 B 和 A 与 C 的球面距离都是 ，B 与 C 的球面距离是 ，求过 A、B、C 三点的截面23到球心 O 距离分析 ： 转化为以球心 O 为顶点，ABC 为底面的三棱锥问题解决由题设知OBC 是边长为 1 的正三角形，AOB 和AOC 是腰长为 1 的全等的等腰三角形取 BC 中点 D，连 AD、OD，易得 BC面 AOD，进而得面 AOD面 ABC，过 O 作 OHAD 于 H，则OH面 ABC，OH 的长即为所求，在 Rt 中,AD= ,故在 Rt ,OH=AB27AOD721AOD点评： 本题若注意到 H 是ABC 的外心，可通过解ABC 和AHO 得 OH或利用体积法四、典型习题导练1 在 平 面 角 为 600 的 二 面 角 内 有 一 点 P， P 到 、 的 距 离 分 别 为lPC=2cm， PD=3cm，则 P 到棱 的距离为_.2异面直线 a , b 所成的角为 ，过空间一定点 P，作直线 ，使 与 a ,b 所成的角均60l为 ，这样的直线 有 条.60l3在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AD 的中点，则点 A1到平面EFB1D1的距离为 4.二面角 内一点 P，分别作两个面的垂线 PA、PB，A、B 为垂l足已知 PA=3，PB=2，APB=60求 的大小及 P 到 的距ll离5.ABCD 是边长为 4 的正方形，CG面 ABCD，CG = 2E、F 分别是AD、AB 的中点求点 B 到面 EFG 的距离 6.如图：二面角 - - 为锐角，P 为二面角内一点，P 到 的 距离为 ，到面 的l 2距离为 4，到棱 的距离为 ，求二面角 - - 的大小.24l7.如图，已知三棱柱 A1B1C1-ABC 的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 A1A 与 AB、 AC 均成45角，且 A1E B1B 于 E， A1F CC1于 F.(1)求点 A 到平面 B1BCC1的距离；(2)当 AA1多长时，点 A1到平面 ABC 与平面 B1BCC1的距离相等.