误差理论与数据处理,课程性质：专业基础课先修知识：微积分、矩阵、概率与数理统计、随机过程等与后继课程：测量技术、测控仪器设计等,误差的合成与分配 （误差合成部分）,埃及的西帕莉亚测量金字塔高度,函数误差y=f(x1,x2,xn),随机误差合成,系统误差合成,主要内容,误差分配,最佳测量方案,已定系统误差合成（修正）,未定系统误差合成,第一节 函数误差,由各直接测量量误差求间接测量误差,数学模型,间接测量,直接测量量,间接测量量,对若干个与被测量有函数关系的量进行直接测量，由该函数关系式求出未知量的方法。,尽量直接测量,函数,间接测量举例,通过测量电路中的电流和电压求电功率,通过测量边长求圆锥体的体积,复杂关系,抛物面天线焦距,通过测量弓高和弦长测量不完整圆的直径D,测量箱体上两轴心距,/2,测量锥孔的锥角,测量盲孔的直径,D,d1,H,l,Measurement principle,Chromatic dispersion phenomena,white-light source,The image of light source is dispersed becoming a series of monochromatic image points.,f(1),f(2),Chromatic dispersion,Decrease (convention),Utilize (chromatic confocal),lens system,Measurement principle,Schematic figure,spectrometer,White light source,pinhole,beam splitter,detector pinhole,detector,Image points of point source (1),Image points of point source (2),lenses system,=f(w)w,f,f,s,s,x,lens,Object b,x,Image b,尺寸已知,y的全微分公式,第二节 函数系统误差,用xi和y分别表示直接测量和间接测量量的系统误差，则有,一、函数系统误差计算(定值系统误差),介绍几种常用函数系差合成(针对定值系差) (1)线性函数,则有,间接测得的被测量误差是直接测得量及其误差的函数,为各个输入量在该测量点处的误差传播系数,起到误差放大或缩小的作用；反映直接测量量误差对间接测量量误差的影响,若,当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和,例，量块组由4块量块组成，基本尺寸分别为：40mm,12mm,1.25mm,1.005mm, 它们的尺寸偏差分别为：-0.7m,0.5 m,-0.3 m,0.1 m,求组合量块的尺寸偏差及修正后的量块尺寸,量块组的基本尺寸 L=54.255mm;基本偏差 =-0.4m;修正值 C=0.4 m;修正后L=54.2550.454.259mm;,例 用弓高弦长法间接测量不完整圆直径。如图所示，测得弓高 h = 50mm,弦长l= 500mm。已知弓高和玄长的系统误差分别为:h=-0.1mm和l=1mm。问测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。,解:用弓高弦长法间接测量直径的函数模型,不考虑测量误差时,D 的系统误差,测量弓高h、弦长l的系统误差分别为,直径的系统误差:,修正后的测量结果:,由,由,二、三角函数形式,在角度测量中，需要计算的误差往往不是三角函数误差，而是角度误差。所以需求d 和各d xi间的关系,用系统误差代替微分量,对于,有,对于,有,例：如图所示在测量中采用正弦机构，将直线运动转化为转动，其中臂长H=10mm, 当测头向前推进2mm,即s=2mm时, 引起的转角是多少?若测头推进误差s= 0.02mm，由此引起的转角误差是多少?修正后的转角是多少?,H,s,由题意知,把H=10mm, s=2mm带入,例: 用双球法测量高精度内锥角，并求修正后的测量结果。,求间接测量函数关系,已知,若不对系差修正,对系差修正后测量结果,第三节 函数随机误差计算,标准差合成方法,极限误差合成方法,随机误差合成,相关系数,一、标准差合成,y的全微分,y的随机误差,随机误差影响可用标准差或极限误差表示,相应的标准差,方差,若各测量值的随机误差相互独立或近似相互独立，可取ij =0,标准差,令,则有,三角形式的函数随机误差公式,1） 正弦函数:,函数随机误差：,2） 余弦函数:,函数随机误差：,3） 正切函数:,函数随机误差：,例 用弓高弦长法测量不完整圆直径D 。测得弓高 h = 50mm,弦长l= 500mm。已知弓高和玄长的标准差分别为: h=0.005mm和l =0.01mm ,D 的系差D=7.4mm,求直径测量结果。,数学模型,取正态分布，置信概率P=99.73%,置信系数t=3,二、相关系数作用及估算,ij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响,各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系,各随机误差分量标准差之间没有线性的相关关系,相关系数估算,(1)直接判断法,通过两误差间关系的分析确定xi 的误差增大xj的误差成比例增大, ij=1;xi的误差增大xj的误差成比例减小, ij=-1;xi 的取值与xj的取值无关, ij=0(多数情况);xi 与xj间影响甚微，视为可忽略不计的弱相关;,例如人员操作引起的误差与环境湿度引起的误差;度盘指针偏心与度盘读数;用1m基准尺测3m尺，则各分量间完全正相关。,()统计计算法,由相关系数的定义有,直接测得多组（xi,xj) 的对应值，进行计算,用剩余误差计算，有,在分析的基础上需要时才计算,例如,34,在某些情况下可以测量两误差，一般需人为制造已知误差。,33,35,例如, CCD分辨率为5m, 10m,15m时, 某个固定波长的峰值位置的计算结果,光源波动造成的误差和波峰位置求取误差,单项(直接测量量）极限误差:,三、极限误差合成,合成极限误差:,合成极限误差计算公式:,若ij =0 :,合成的极限误差分布,若各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，合成的极限误差也接近正态分布,根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成,各个置信系数ti 和t 不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关,对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的置信系数相同,对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的置信系数不相同,第四节 未定系统误差合成及与随机误差的合成,复习:已定系差及其合成,定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：,合成方法：,已定系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除,未定系统误差合成,未定系统误差合成方法,未定系统误差与随机误差的合成,一、未定系差定义及特征,定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费精力去掌握，只需估计出其不致超过某一范围 e 的系统误差,特征：1） 恒定性，在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性。2） 随机性，当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概率分布，具有随机误差的特性。,表示符号：,极限误差：e,标准差：u,随条件的变化而变化,二、 未定系统误差合成,1.可按随机误差合成,原因,给测量结果的处理带来很大方便,即可按标准差合成，也可按极限误差的形式合成,2、标准差合成,测量过程中有 s 个单项未定系统误差；标准差分别为 u1，u2，us；相应的误差传递系数为a1，a2，as ；则未定系统误差的总标准差 u 为:,当ij=0时,3、极限误差的合成,各个单项未定系统误差的极限误差为:,单项置信系数,单项极限误差,由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：,或者，由单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：,当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即ij=0 ，则上式可简化为：,u,相同的置信概率,三、未定系统误差与随机误差的合成,合成形式,按标准差形式合成,按极限误差形式合成,1.按极限误差合成,假设有r 个单项已定系统误差，s 个单项未定系统误差，q 个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：,若传递系数均为1，则测量结果总的极限误差为：,各误差协方差之和,若已定系统误差已进行修正，各个误差间互不相关时，各误差分布及置信概率相同，有,若为n次重复测量，因为未定系没有抵偿性,随机随机误差有抵偿性,故应为,2.按标准误差合成,测量过程中，假定有 s 个单项未定系统误差，q 个单项随机误差，它们的标准差分别为：,则有,各误差不相关，则R=0,若为n次重复测量，且各误差相互独立,则有,例:在万工显上用影像法测量某一平面工件的长度两次，测得结果分别为L1=50.026mm和L2=50.025mm，查得在 50mm 位置光学刻尺的修正值=-0.0008mm ，已知工件的高度H=80mm，求测量结果及其极限误差。,误差分析,随机误差:,未定系差:,光学刻尺检定误差:,阿贝误差:,温度误差:,光学刻尺刻划误差:,46,47,主要误差如下表,德国著名的物理学家阿贝恩斯特(Abbe,Ernst) 在一百年前的1890年就长度测量问题,提出了著名的阿贝原则.,阿贝原则：被测量轴线只有与标准量的测量轴线重合或在其延长线上时，测量才会得到精确地结果。 阿贝原则是长度计量的最基本原则，其意义在于它避免了因导轨误差引起的一次测量误差。在检定和测试中遵守阿贝原则可提高测量的准确度，特备是在使用不符合阿贝原则的仪器时，更要注意阿贝原则的应用。 例：千分尺，内径千分尺等符合；游标卡尺不符合。,根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在 50mm 位置的修正值=-0.0008mm ，若对其进行修正,则有：,两次测量结果的平均值为:,进行误差合成,有：,对刻尺进行修正的测量结果,若不对刻尺误差进行修正,将光学刻尺检定误差换成光学刻尺刻划误差,总的误差:,测量结果为:,对比对刻尺进行修正的测量结果,用影象法通过4次测量求孔心距L和它的误差L.计算过程(1)求圆的若干边缘点;(2)由边缘点分别求两孔中心坐标(x1, y1), (x2,y2) 的平均值为(10,280), (20, 220);(3)求孔心距L,误差x, x分析(折合到物面)随机误差:(1）边缘瞄准误差2=0.005mm;未定系差:(1)系统标定误差e1=0.008mm;(2)光学系统畸变误差e2=0.01mm;圆的方程,L,测量4次,测量值分别为:L1=8.999mm; L2=8.998mm; L3=9.000mm; L4=8.999mm;各相关系数为零；求测量结果,误差合成,第五节 误差分配,基本思想:,应用:,给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。,在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。,原则:,间接测量允许误差,直接测量量允许误差,仪器总误差,各误差源误差,测量工具选择,由误差传递公式,误差分配时应满足,分配基本步骤:,(1)按等影响原则分配误差,各分项误差对函数误差的影响相等,即,(2)按可能性调整误差,难于实现的i,易于实现的i,微小误差,已知测量结果的标准差：,若将其中的分项误差Dk 取出后，则得,如果,