数列与不等式交汇还可能涉及到与导数、函数等知识综合.知识重点和热点是数列的通 项公式、前 n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归 纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的 应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和 进一步学习数学的潜能现通过以下二例题探讨利用单调性、不等式性质来探究数列中的 不等关系1已知数列满足，.其前项 n 和.na1aa(01)aa且(1)1nnaSaa(1)求证：为等比数列；na(2)若，记，问是否存在正整数 m，使 得对任意正整数 n，都7 3a *lg|()nnnbaanN有？若存在，求出 m 的值，若不存在，说明理由.nmbb【解析】(1)当时，整理得，2n 11(1)(1)11nnnnnaaaSSaaaa1nnaaa故为公比为的等比数列.naa(2) 由(1)得:，.7()3nn naa 7777lg| () lg|() |() lg3333nnn nnnbaan ，当 n 为偶数时，；n 为奇数时，.7lg030nb 0nb 若存在符合条件的正整数 m，则 m 为偶数，1 222777714477(22)( )lg2 ( ) lg( ) lg9393993kkk kkkbbkk 由得，即，2220kkbb71440,2kk81012bbb由得，即，2220kkbb71440,2kk2468bbbb故存在正整数，使得对于任意正整数 n，都有.8m nmbb注：与前 n 项和有关的数列问题，一般都要利用通项与的关系，寻找数列中相nSnanSna邻两项的关系；对与数列有关的不等式问题，则还需要应用数列中的最大项与最小项.2.数列由下列条件确定：， （I）证明：对 nx01 ax,211 nnnxaxxNn总有；(II)证明：对总有2naxn2n1nnxx解析 构造函数易知在是增函数。,21)( xaxxf)(xf),a当时在递增故1 kn kkkxaxx211),a.)(1aafxk对(II)有，构造函数它在上1nnxx nnxax21,21)( xaxxf),a是增函数，故有，得证。1nnxx nnxax210)(af注：本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景数列单调递减有下界因而有极限： nx).(naan是递推数列的母函数，研究其单调性xaxxf21)( nnnxaxx211对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。