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本周内容:本周内容:函数的增减性、函数的奇偶性 重点难点分析:重点难点分析: 1不能把一个完整的单调区间随意分成两个区间,例如 y=3x 的单调区间(-,+)不可 以写成(-,0和0,+),也不能把本来不是一个区间的单调区间合起来。例如 y=的单调递减区间是(-,0)和(0,+),而不能写成 xR 且 x0。 2设 y=f(u),u=g(x),复合函数 y=fg(x)的增减性有下面二种情况: (1)若 u=g(x), y=f(u)在所讨论区间上都是递增或递减的,则 y=fg(x)在该区间上为增 函数。 (2)若 u=g(x), y=f(u),在所讨论区间上一个是递增的,另一个是递减的,则 y=fg(x) 在该区间上为减函数。 3奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数,且等式 f(-x)=f(x)或 f(-x) =-f(x)是定义在对称区间上的恒等式,而不是只对自变量的部分值成立的方程,所以,只要 出现以下两种情况之一,函数就不是偶函数或奇函数: (1)定义域不是关于原点对称的区间 (2)f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)不是定义在定义域上的恒等式。 典型例题:典型例题: 例例 1求 y=loga(-2x2+x+3)的递减区间 解:解:令 u=-2x2+x+30 得定义域为(-1,), u=-2(x-)2+3, x(-1,), 当 x(-1, 时,u=-2x2+x+3 为增函数, 当 x,)时,u=-2x2+x+3 为减函数。 (1)如果 a1,则 y=logau为增函数, y=loga(-2x2+x+3)的递减区间为,)。 (2)如果 00)在区间(0,+)上的单调性,并证明。 解:解:任取 x1, x2(0,+)且 x11,1- 0,f(x1)f(x2), f(x)在(0,上是减函数。 (2) 当 x1, x2,+)时,x1x2a, 00,此时(*)0,a0, 根据均值不等式 x+,当且仅当 x=时取等号,即 y 最小。所以在 x=时函数图像是最低的,即函数图像从左向右是先降后升的,转折点是 x=,可以自己画出函数草图。 例例 3求 y=cos(-2x)递增区间。 解:解:方法(1) 设 u=-2x, y=cosu, u=-2x+为减函数,只需求 y=cosu 的递减区间, 2k-2x+2k (kZ) 2k-2x+2k -k+x-k。 -k 与 k 等效, k-xk+。 图示: 方法(2), cosu 为偶函数, y=cos(2x-) u=2x-为增函数。 只需求 y=cosu 递减区间, 2k+2x-2k+2 2k+2x2k+ k+xk+。 图示: 说明:说明:形式不同,但区间相同。但更多是用方法(2),容易理解并且不易出错。 例例 4定义在(-2,2)上的偶函数 g(x),当 x0 时,g(x)单调递减,若 g(1-m)m2 m0 时,f(x)=x-lg|x|,当 x0,f(x)奇函数, f(x)=-f(-x) =-(-x)-lg|-x| =-(-x-lg|x|) =x+lg|x|本周练习:本周练习: 一填空题:一填空题: 1函数 y=(-x2+2x+3)单调递增区间是_。 2函数 f(x)=()|1-x|的单调递减区间是_。 3f(x)是定义在-2,2上的奇函数,且为减函数,若不等式 f(2-a)+f(2a-3)1 时,f(x)的表达式。 2设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且在区间(-,0)上单调递增,f(2a2+a+1)1 时,2-x1 时,f(x)=x2-4x+5。 2解:解: f(x)是 R 上的偶函数,且在(-,0)上单调递增, f(x)在(0,+)上单调递减, 2a2+a+1=2(a+)2+0, 3a2-2a+1=3(a-)2+0 f(2a2+a+1)3a2-2a+1 a2-3a0 a(a-3)0 0a3又 y=()x为减函数, 要使为减函数,需 a 的取值范围使 a2-3a+1 为增函数,即 a。 综上得:a3。
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