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综合测评(二) 数列、极限与数学归纳法 (时间:120 分钟;满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1方程 x26x40 的两根的等比中项是( ) A3 B2 C D26解析:选 B.设两根为 x1,x2,则 x1x24.故其等比中项为 2.故应选 B.42. (1 )( )limn1313213nA. B.5332 C2 D不存在解析:选 B. (1 ) .limn1313213n111332 3(2010 年高考浙江卷)设 Sn为等比数列an的前 n 项和,8a2a50,则( )S5S2 A11 B8 C5 D11 解析:选 A.设等比数列an的公比为 q(q0),依题意知8a1qa1q40,a10,则 q38,故 q2,所以S5S21q51q211.13214 4在数列an中,a13,且对于任意大于 1 的正整数 n,点 (an,an1)在直线 xy60 上,则 a3a5a7的值为( ) A27 B6 C81 D9 解析:选 A.由题意得 anan160,即 anan16,得数列 an是等差数列,且首项 a13,公差 d6,从而 a3a5a7a72da5a14d34627.5已知函数 f(x)Error!在 R 上连续,则 ab( )A2 B1 C0 D1解析:选 A.lif(x)li (x1)1,mx0mx0所以 li 1,即 li 1,mx0(axbx2x)mx0axabxx1则Error!有 a1,b1,ab2,故选 A. 6(2010 年高考广东卷)已知数列an为等比数列,Sn是它的前n 项和若 a2a32a1,且 a4与 2a7的等差中项为 ,则 S5( )54 A35 B33 C31 D29 解析:选 C.设数列an的公比为 q,则 a2a3a 1q3a1a42a1a42,2a42a7a42a4q324q32 q ,5412故 a116,S531.a4q3a11q51q7若数列an中,a1 ,且对任意的正整数 p、q 都有13 apqapaq,则 an( )A( )n1 B2( )n1313C( )n D. ( )n1131312解析:选 C.特殊值法处理,设 q1 可得 ap1 ap,所以an是13公比为 的等比数列,即有 an( )n.1313 8设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 a110,a29,那么下 列不等式中成立的是( ) Aa10a110 CS20S210,a20a22S21,即 S20S210,故 C 错 由 an及 Sn知,S400,且 q 为常数),某 同学得出如下三个结论:an的通项是 an(q1)qn1;an是 等比数列;当 q1 时,SnSn2S8,有下 列四个命题:(1)此数列的公差 dS6,即 S60,同理可知 a80,a80,0,| ,则此通项公式可2 以为 an_ _ (写出一个即可) 解析:数列an满足a12,an1,a21 ,a3121,a4111an11212 2.若an有一个形如 anAsin(n)B 的通项公式,且数列an的周期为 3,所以 3, 将前三项代入可得:223A,B , ,所以 ansin(n ) .3123323312答案:2 sin( n )323312 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2成等差数列 (1)求an的公比 q; (2)若 a1a33,求 Sn. 解:(1)依题意有 a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于 a10,故 2q2q0.又 q0,从而 q .12(2)由已知可得 a1a1( )23,故 a14.12从而 Sn 1( )n. 4112n1128312 18(本小题满分 12 分)数列an满足 a12,a25,an23an12an. (1)求证:数列an1an是等比数列; (2)求数列an的通项公式; (3)求数列an的前 n 项和 Sn. 解:(1)证明:由题意知 an2an12(an1an),2,故数列an1an是等比数列an2an1an1an (2)由(1)知数列an1an是以 a2a13 为首项, 以 2 为公比的等比数列,an1an32n1. a2a1320,a3a2321,a4a3322,anan1 32n2,ana13(2n11),312n112 即 an32n11. (3)an32n11,Sn3n32nn3.12n12 19(本小题满分 12 分)已知数列an满足:Sn1an(nN*), 其中 Sn为数列an的前 n 项和 (1)试求an的通项公式;(2)若数列bn满足:bn(nN*),试求bn的前 n 项和公式 Tn.nan 解:(1)Sn1an, Sn11an1.得 an1an1an.an1 an(nN*)12又当 n1 时,a11a1,a1 .12an n1n(nN*)12(12)(12)(2)由(1)得 bnn2n(nN*)nanTn12222323n2n. 2Tn122223324n2n1. 得Tn222232nn2n1n2n1.212n12 整理得:Tn(n1)2n12,nN*. 20(本小题满分 12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,且(3m) Sn2manm3(nN*),其中 m 为常数,m3,且 m0. (1)求证:an是等比数列;(2)若数列an的公比满足 qf(m)且 b1a1,bn f(bn1)32(nN*,n2),求证:为等差数列,并求 bn.1bn 证明:(1)由(3m)Sn2manm3, 得(3m)Sn12man1m3, 两式相减,得(3m)an12man(m3),m 是常数,且 m3,m0,an1an2mm3故是不为 0 的常数,an是等比数列2mm3(2)由 b1a11,qf(m),nN*且 n2,2mm3bn f(bn1) ,得32322bn1bn13bnbn13bn3bn1 .1bn1bn113是以 1 为首项, 为公差的等差数列,1bn131,故有 bn.1bnn13n233n2 21(本小题满分 12 分)设 Sn为数列an的前 n 项和,若(nN*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列” S2nSn (1)若数列2bn是首项为 2,公比为 4 的等比数列,试判断数列 bn是否为“和等比数列” ; (2)若数列cn是首项为 c1,公差为 d(d0)的等差数列,且数列 cn是“和等比数列” ,试探究 d 与 c1之间的等量关系 解:(1)因为数列2bn是首项为 2,公比为 4 的等比数列,所以 2bn24n122n1,因此 bn2n1. 设数列bn的前 n 项和为 Tn,则 Tnn2,T2n4n2,所以4,因此数列bn为“和等比数列” T2nTn(2)设数列cn的前 n 项和为 Rn,且k(k 为常数,且R2nRnk0)因为数列cn是等差数列,所以Rnnc1d,R2n2nc1d,nn122n2n12所以k 对于 nN*都成立,R2nRn2nc12n2n1d2nc1nn12d化简得(k4)dn(k2)(2c1d)0,则Error! 因为 d0,所以 k4,d2c1, 因此 d 与 c1之间的等量关系为 d2c1. 22(本小题满分 12 分)在直角坐标平面上有一点列 P1(x1,y1), P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对一切正整数 n,点 Pn位于函数y3x的图象上,且 Pn的横坐标构成以 为首项,1 为公差的13452 等差数列xn (1)求点 Pn的坐标; (2)设抛物线列 C1,C2,C3,Cn,中的每一条对称轴都垂 直于 x 轴,第 n 条抛物线 Cn的顶点为 Pn,且过点 Dn(0,n21),记与抛物线 Cn相切于 Dn的直线的斜率为 kn,求:1k1k21k2k3;1kn1kn (3)设 Sx|x2xn,nN*,Ty|y4yn,nN*,等差数列 an的任一项 anST,其中 a1是 ST 中的最大数, 265a10125,求an的通项公式解:(1)由题意,得 xn (n1)(1)52n ,yn3xn3n .3213454Pn(n ,3n )(nN*)3254(2)Cn的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn,设 Cn的方程为 ya(x)2.2n3212n54 把 Dn(0,n21)代入上式,得 a1. Cn的方程为 yx2(2n3)xn21. 即 kny|x02n3, 当 n2 时, ()1kn1kn12n12n31212n112n3 ( )( )(1k1k21k2k31kn1kn121517171912n1)12n3 ( ).121512n311014n6 (3)Sx|x(2n3),nN*,Ty|y(12n5),nN* y|y2(6n1)3,nN*, STT,T 中最大数 a117. 设an的公差为 d,则 a10(179d)(265,125),由此得d12.2489又anT,d12m(mN*) d24,an724n
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