阶梯电价问题数学建模论文阶梯电价问题数学建模论文基于灰色预测、价格弹性理论、线性支出系统模型和消费物价指数的阶梯电价问题的研究【摘要】我国在国民经济和社会发展第十二个五年规划纲要中提出了积极推行居民用电、用水阶梯价格制度，由此将深化由居民阶梯电价引发的电价改革，电价改革成为电力体制改革的一项核心内容6。本文就阶梯电价草案，结合相关专业文献和数据，针对阶梯电价问题进行了建模、求解和相关分析。对于问题一，需要查阅相关数据就某地居民家庭用电情况来探讨阶梯电价草案能否保证 80%的居民家庭电价保持平稳。本文选取北京市作为研究对象，所用数据来源于北京统计年鉴 2011 ，利用 20052010 年北京市户籍户数统计数据通过灰色预测来预测出 2012 年的户籍户数，针对 20052010 年北京市城乡居民生活用电量采用线性回归的方法求出 2012 年的居民总用电量，然后利用对数曲线对户数百分比与用电量百分比之间的关系进行拟合，最终求得 80%的家庭（普通收入）平均每月的用电量为 138.66 度，小于北京市“一档”电量上限 240度，据此可得出如下结论：该阶梯电价草案能保证北京市 80%居民家庭的电价保持平稳。对于问题二，需要探讨如何确定一个电价机制是否“好”的电价，而居民阶梯电价的评估，需要考虑多方面的评估因素。本文选取低收入居民的电力价格弹性、节能降耗量及实施阶梯电价对 CPI 的影响等三方面作为主要评估因素，依然以北京市作为研究对象。首先通过低收入居民电力价格弹性的量化，来判断居民阶梯电价是否在低收入居民的承受能力范围内；然后将一定形式的经济效用函数在有预算约束的条件下最大化后建立线性支出系统模型，通过实施居民阶梯电价后减少的用电量来量化节能降耗效果，评估居民阶梯电价所起的节能效果；接着通过居民阶梯电价对 CPI 影响的量化来判断实施居民阶梯电价后的 CPI 涨幅是否超过国家发改委规定的 4%；最后综合三方面的评估结果，得出结论：就北京市而言，居民阶梯电价是比较合理的，优于旧的电价机制。但实施阶梯电价会导致 CPI 上升，制定居民阶梯电价时需要考虑对 CPI 的影响，避免通货膨胀现象的发生。对于问题三，需要针对各省市的阶梯电价方案，提出一些完善改进的具体建议。本文从家庭人数、城乡差异、低保人群免费用电量、分档层次、季节差异以及电网公司的计量技术和客户服务等方面进行了分析，并结合现实情况，提出了较为具体可行的改善意见。关键词：灰色预测价格弹性理论效用函数消费物价指数阶梯电价11111 问题重述问题重述问题重述问题重述问题重述11111.1.1.1.1.1 问题背景问题背景问题背景问题背景问题背景为建设资源节约型、环境友好型社会，自 2003 年开始，我国就出台了多项促进节能减排和支持可再生能源发展的政策。2008 年，国务院多次指示，要求研究居民生活用电实施阶梯式递增电价。2009 年 11 月。国家发改委明确要求各地对居民用电推行阶梯式电价的改革方案进行研究，促进节能减排。至此，我国居民电价改革正式拉开序幕。阶梯式电价是通过对不同收入和需求特性的用户用电量细分，对不同的用户群体设置不同的电价水平，从而引导用户合理用电，提高资源配置效率。因此，解决电量和电价分档设置问题，成为阶梯电价的关键所在2。 2012 年 3 月 28 日,中国国家发展和改革委员会确认，居民阶梯电价在将今年上半年推出。居民阶梯电价的改革，体现了资源性产品价格的市场化改革的方向，体现了节能减排的总体要求和根据收入分配适当调控的总体原则。居民阶梯电价的草案已于去年拟定，并进行了公示以广泛征求社会意见。在公示过程中草案为应对新一轮物价上涨做了进一步调整。政府要求各地可结合各自情况进行抉择一到三档的标准。11111.2.2.2.2.2 待解决的问题待解决的问题待解决的问题待解决的问题待解决的问题我国居民用电中，大约 5%的高收入家庭消耗了 24%左右的居民用电，10%的高收入家庭消耗 33%的居民用电。阶梯电价在电量分档上做了长期论证，计划“一档”电价覆盖的 80%的居民家庭，这档标准的用户电价收费保持平稳，特别地，对于一定比例的困难群体给予一定的免费电量；对于超出这档标准的电量开始实施“二档”和“三档”的不同电价：“二档”每度电价提高 5 分钱， “三档”提高 3 毛钱。标准的拟定通过听证会听取群众意见后实行。请针对上述阶梯电价草案，解决下列问题：（1）根据居某地民家庭用电情况并选择附录中相应的草案分析，该草案的阶梯电价是否能保证 80%的居民家庭的电价保持平稳？（2）怎样的电价才是一个“好”的电价，如何评判？具体地讲，你可以讨论（但不限于）下面的问题：与现在的电价相比阶梯电价对于居民的用电支出影响大小如何评价？这些政策和地区的经济发展水平有何相关关系？同一地区的不同草案哪一个更好？随着生活水平的提高，居民用电量也在增加，目前的草案必将会调整，分析目前的草案可以延续实行多长时间？（3）针对目前各省市的阶梯电价，你有何完善的建议或者意见？22222 模型假设模型假设模型假设模型假设模型假设针对本问题，查阅相关专业资料，作出以下合理假设：（）假设北京市人口数量、居民收入不发生较大变化，将居民生活用电的分布看作连续变量；（）假设在一段时期内，高收入家庭在各地区所占比例与在全国所占比例保持一致，且基本稳定不变；（）假定煤炭、燃气等其他商品的价格不变，且居民的消费偏好不发生大的变化；（）查阅相关文献资料，低收入居民的电费承受指数为 1%，火电机组平均供电煤耗为 349 克/千瓦时；（）假定居民的电力需求由基本需求和非基本需求两部分组成，其中基本需求基本维持稳定，非基本需求则对价格反映较为敏感；（）分析北京统计年鉴 2011中的相关数据，每户居民家庭的月总消费支出约为 11328 元，每户家庭的月基本生活支出为 7231 元；（）依据题设中所给的数据“大约 5%的高收入家庭消耗了 24%左右的居民用电，大约 10%的高收入家庭消耗了 33%左右的居民用电”以及阶梯电价要求“一档”电价至少覆盖 80%的居民家庭，因此作出假设：一到三档的三个阶梯电价的权重系数依次为 0.85、0.10、0.05。33333 问题一的建模与求解问题一的建模与求解问题一的建模与求解问题一的建模与求解问题一的建模与求解33333.1.1.1.1.1 问题一的分析问题一的分析问题一的分析问题一的分析问题一的分析问题一需要查阅相关数据就某地居民家庭用电情况来探讨阶梯电价草案能否保证 80%的居民家庭电价保持平稳。不妨选取北京市作为研究对象，通过北京统计年鉴 2011中的相关数据进行建模分析，求出 2012 年北京市 80%的居民家庭每户每月的平均用电量，与草案中的分档电量进行对比，从而判断草案的合理性与适用性。33333.2.2.2.2.2 数据预处理数据预处理数据预处理数据预处理数据预处理首先，将北京统计年鉴 2011中查到的原始数据进行初步处理，选取北京市 20052010 年户籍户数、城乡居民生活用电量的相关数据，以备后续的建模分析，所得结果如下表 3.21 所示：表 3.21 北京市 20052010 年户数及用电量统计表年份户籍户数/万户居民生活用电/万度 2005 451.7 889210 2006 463.65 958731 2007 473.02 1066759 2008 481.18 1163091 2009 488.7 1287952 2010 496.07 139334633333.3.3.3.3.3 模型的建立与求解模型的建立与求解模型的建立与求解模型的建立与求解模型的建立与求解（1）灰色预测 GM（1,1）模型预测 2012 年北京市户籍户数灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。利用 MATLAB 软件编程，程序见附录 1，运行后得出结果为：2012 年北京市户籍户数为 513.6433 万户。（2）线性拟合预测 2012 年北京市居民生活用电量分析表 3.21 中居民生活用电数据，可看出居民用电量随年份大致呈线性变化的趋势，因此考虑使用线性拟合求解用电量与年份的关系，从而预测 2012年北京市居民生活用电量。线性拟合的效果图如下图 3.31 所示：图 3.31 居民生活用电量线性拟合效果图如上图 3.31 所示，回归直线为 y=105 5x+ 7.7 10 ，图中“ 1”代表 2005年，后续年份依此类推。从图上可看出拟合的精度为 0.9946，精确度很高。因此，根据回归直线方程可得到 2012 年北京市居民生活用电量约为 1570000 万度。（3）对数拟合求解户数百分比与用电量百分比之间的关系根据题设可知，大约 5%的高收入家庭消耗量 24%的居民用电，大约 10%的高收入家庭消耗了 33%的居民用电，再结合 100%的家庭消耗了 100%的居民用电，共计三个点进行对数曲线拟合，横轴表示家庭户数所占总户籍户数的百分比，纵轴表示用电量占年度总居民用电的百分比，所得结果如下图 3.32 所示：图 3.32 户数百分比与用电量百分比之间的关系曲线拟合图如上图 3.32 所示，拟合精度为 0.9870，说明精确度很高，符合对数曲线拟合要求，从图上曲线方程可得出 20%的高收入家庭消耗了 56.45%的居民用电，因此 80%的普通家庭消耗了 43.55%的居民用电。（4）求解 80%的家庭（普通收入）平均每月的用电量由前文结果可知 2012 年北京市户籍户数约为 513.6433 万户，居民生活用电约为 1570000 万度，因此，80%的家庭（普通收入）平均每月的用电量为：1570000 43.55% =138.66 度513.6433 80% 12因此，2012 年北京市 80%的家庭（普通收入）平均每月的生活基本用电约为 138.66度，而从题目附件阶梯电价试行方案中可读出北京市“一档”电量上限为 240度，高于 138.66 度，故北京市至少 80%的家庭（普通收入）用电处于“一档”电价范围内，据此认定该阶梯电价草案能保证 80%居民家庭的电价保持平稳。33333.4.4.4.4.4 结果分析与模型解释结果分析与模型解释结果分析与模型解释结果分析与模型解释结果分析与模型解释从上述建模分析可知，2012 年北京市 80%的家庭平均每月的用电量约为 138.66 度，低于草案中北京市“一档”电量上限 240 度，而一档内电价保持原有收费标准不变，因而根据本题所得结果，可判定：草案中北京的阶梯电价能够保证 80%的居民电价保持平稳。44444 问题二的建模与求解问题二的建模与求解问题二的建模与求解问题二的建模与求解问题二的建模与求解44444.1.1.1.1.1 问题二的分析问题二的分析问题二的分析问题二的分析问题二的分析问题二需要探讨如何确定一个电价机制是否“好”的电价，而居民阶梯电价的评估，需要考虑多方面的评估因素。居民阶梯电价的评估需要考虑的主要因素包括低收入居民的电力价格弹性、节能降耗量及其对 CPI 的影响。（1）低收入居民的电力价格弹性居民阶梯电价制度所确定的第一阶梯的用电量应至少满足居民的基本生活用电。由于低收入居民对电价的上涨较为敏感，而电价上涨对高收入居民电力需求的影响较小，对于中等收入家庭的电费支出影响较大。因此，居民阶梯电价的实施，应保障低收入居民的基本用电需求，利于社会福利最大化目标的实现，又需要保障电力企业利益，以缓解当前电力企业亏损的现状7。居民阶梯电价的评估应考虑低收入居民的电力价格弹性，保证制定的居民阶梯电价方案在低收入居民的电价承受能力范围之内，否则此居民阶梯电价方案是不合理的。（2）节能降耗方面根据需