第六章 数理统计的基本概念,第一节：总体与样本第二节：统计量第二节：抽样分布,本章转入课程的第二部分,数理统计,概率论,研究大量随机现象的统计规律性的一门学科,数理统计,数理统计是以概率论为基础，运用概率论的知识，研究观测大量随机现象得到的数据的收集、整理、分析等方法。并根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合理的推断。,概率论是数理统计的基础，数理统计是概率论的应用,从第本章开始，我们学习数理统计的基础知识。主要有参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等内容.本章主要介绍数理统计的一些基本术语、基本概念、重要的统计量及其分布，它们是后面各章的基础。,学习的基本内容,第一节 总体与样本,一个统计问题总有它明确的研究对象.,1.1 总体与个体,研究对象的全体称为总体(母体)，,总体中每个成员称为个体.,例：考察某灯泡厂生产的灯泡。总体:全部灯泡。个体:每一个灯泡,例:考察某大学学生的身体状况.总体:全体学生.个体：每一个学生,总体,有限总体,无限总体,然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.,总体和个体具有两重性： 一方面指所研究的实体，另一方面又指实体的数量指标。,由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布.,这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.,例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.,某批灯泡的寿命,总体,寿命X可用一概率分布来刻划,如说总体X或总体F(x) .,类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示.,统计中，总体这个概念的要旨是：总体就是一个随机变量(向量)或一个概率分布.,常用 X，Y，Z表示,使用 总体X，总体X的分布 ，正态总体等术语.,总体的分布要借助于随机抽样来研究。,1.2 样本,1. 样本,为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.,但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (X1,X2,Xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .,容量为 n 的样本 是 n 次试验的结果，因试验是随机的，容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1, X2, , Xn).,样本的二重性：样本在做具体试验前可理解为一个随机向量， 在具体试验后可理解为一组观测值。,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.,最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:,简单随机样本：设总体为X，如果样本(X1, X2, , Xn)满足: (1)代表性: 每个Xi 与总体X 有相同的分布; (2)独立性: X1, X2, , Xn相互独立;则称 样本(X1, X2, , Xn) 为简单随机样本，简称为简单样本。,注,在有限总体中要得到简单样本, 必须进行重复抽样。但当总体中个体数相对于样本容量充分大时，不重复抽样得到的样本也可近似看作简单样本.,小样本和大样本：当容量 n 时，研究的是大样本问题。其 分布是极限分布。当容量 n 有限时，样本是小样本。其分布是随机向量的精确分布。在理论研究中小样本意味着固定样本容量，不能让它趋于无穷。,2. 样本的分布,设总体X的分布函数为F(x)，(X1, X2, , Xn)是来自总体的样本，由于X1, X2, , Xn 相互独立且与总体有相同的分布，所以Xi的分布函数为F(xi)，则(X1, X2, , Xn)的联合分布函数为 F(x1,x2, , xn) = F(x1) F(x2) F( xn),（1）若总体X是连续型随机变量，其密度函数为f(x)， Xi的密度函数为f(xi)，则(X1, X2, , Xn)的联合密度函数为 f(x1,x2, , xn) = f(x1) f(x2) f( xn),（2）若总体X是离散型随机变量，其概率分布为P(X=x)=p(x)， Xi的概率分布为P(X=xi)=p(xi) ，则(X1, X2, , Xn)的联合概率分布为 P(X1=x1,X2=x2, , Xn=xn) = p(x1) p(x2) p( xn),例1 研究某城市居民的收入状况.假设该城市居民人均年收入XN(,2). 其密度函数为,现在随机调查n户居民年收入，记为X1, X2, , Xn， 则(X1, X2, , Xn)就是从总体X中抽取的简单随机样本，于是， X1, X2, , Xn相互独立，且XiN(,2). i=1,2,3, , n,于是样本(X1, X2, , Xn)的联合密度函数为,例2 某电话交换台一小时内的呼唤次数XP(). 其概率分布为,设(X1, X2, , Xn)是从总体X中抽取的简单随机样本，,则样本(X1, X2, , Xn)的联合概率分布为,第二节 统计量,2.1 统计量的定义,不含任何未知参数的样本的函数称为统计量. 它是完全由样本决定的量.,定义2.1 设(X1, X2, , Xn)为来自总体 X 的样本，容量为 n ， 设h(x1, x2, , xn)为一不含未知参数的 n 元连续函数，则 T = h(X1, X2, , Xn) 是一个随机变量，称为统计量。,例： 当总体 XN( , 2) ，其中参数 , 2 未知时,不是统计量，因它们都包含了未知参数。,例：统计量,当参数 已知, 2 未知时，结论如何？,2.2 样本的数字特征-常见统计量,设样本 (X1, X2, , Xn) 来自总体 X，常见统计量和观测值：,（2）样本方 差：,其观测值：,（1）样本平均值（样本均 值）：,其观测值：,其观测值：,（3）样本标准差：,其观测值：,（4）样本 k 阶原点矩：,（5）样本 k 阶中心矩：,其观测值：,其观测值：,样本二阶中心矩观测值：,样本均值和样本方差的性质,定理2.1：设总体 X 的均值为 EX=，方差为 DX= 2， 样本 (X1, X2, , Xn) 来自总体 X ，则,证：由于(X1, X2, , Xn) 是简单样本，所以EXi=EX= ， DXi=DX= 2 (i=1, 2, , n)，而且有,注意到：,定义3.1 设随机变量X1,X2,Xn相互独立,且同服从标准正态分布， 则它们的平方和 2= X12+X22+ +Xn2服从的分布称为自由度为 n 的 2分布。记为： 2 2(n)。,注：自由度表示独立随机变量的个数,第三节 抽样分布,可以证明， 2 的密度函数为：,1、 2 分布,3.1 数理统计中的三个重要分布,抽样分布:统计量的分布, 2分布的性质,定理3.2 若 X 2(n)，Y 2(m)，且X与Y相互独立， 则 X+Y 2 (n+m),定理3.1 若 X 2 (n)，则： EX=n， DX=2n,(2) 若 X1, X2, , Xn相互独立，同服从于正态分布N( i , i2)，则,推论：（1） 若 Xi 2(ni), i = 1, 2, , n ，且相互独立， 则：,2分布的临界值（ 分位点）,例：,t 分布,t 分布的临界值（ 分位点）,例：,1. 397,问题：若 XN ( , 2)，Y/ 2 2(n)，且X与Y相互独立，则,证明：,且与Y相互独立，则,F 分布,其中 n1 叫做第一自由度， n2 叫做第二自由度。,F 分布的临界值（ 分位点）,F 分布上分位点的性质,例：,例：,判断： 如果 X与Y 相互独立，且X / 2 2(n)， Y / 2 2(m)， 则 F = (X/Y)(m/n),证： 如果 X与Y 相互独立，且X / 2 2(n)， Y / 2 2(m)，,例：143页（A）第2(5)题,解：,F(n, m),3.2 正态总体下的抽样分布,以下假设样本（X1 ，X2 ， ，X n ）来自正态总体 XN(, 2),推论1：,这个定理说明了：对于n个独立的且都服从相同的正态分布的随机变量而言，它们的均值仍然服从正态分布，所改变的只是分布的参数。,推论2：若样本(X1, X2, , X n1)来自总体XN(1,12)， 样本 (Y1, Y2, , Y n2)来自总体YN(2 ,22)，且X与Y相互独立，则,标准化得：,定理3.5：,(n-1)S2/ 2 2(n1) ,相互独立,定理3.6 设样本(X1,X2, ,X n1)来自正态总体XN(1 ,12), (Y1, Y2, , Y n2) 来自正态总体YN(2 ,22)，并假定X 与 Y 相互独立。记,则,其中，,证明：(1)由定理3.4，知,且二者相互独立，,由F-分布定义得:,定理3.7 设样本(X1,X2, ,X n1)来自正态总体XN(1 ,2), (Y1, Y2, , Y n2) 来自正态总体YN(2 ,2)，并假定X 与 Y 相互独立。记,则,其中，,证明：,由定理3.3的推论2，得：,证明：(1)由定理3.4，知,(n1-1)S12/1 2 2(n11) , (n2-1)S22/2 2 2(n21) , 相互独立，由可加性得:,U , V 相互独立，由定义3.2得:,证明：,且相互独立,例1：若 XN (0 ,0.5 2)，样本(X1,X2, ,X 10)来自总体X。 求,证明：,且相互独立,且相互独立，则,解：,由定理3.5知,例3：设总体 XN (, 2)， 与 S2分别是样本均值与样本方差，若样本容量为16，求k，使得,