椭圆的第一定义椭圆的第一定义自己收藏的觉得很有用故上传到百度与大家一起分享！椭圆的第一定义 tuyun 平面内与两定点 F、F的距离的和等于常数 2a(2a|FF|)的动点 P 的轨迹叫做椭圆即：PF+PF=2a 其中两定点 F、F叫做椭圆的焦点两焦点的距离FF叫做椭圆的焦距椭圆的第二定义平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e(即椭圆的偏心率e=c/a)的点的集合（定点 F 不在定直线上该常数为小于 1 的正数） 其中定点 F 为椭圆的焦点定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是 x=a2/c 或者y=a2/c)椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数 k 的动点的轨迹是椭圆此时 k 应满足一定的条件也就是排除斜率不存在的情况 切线与法线的几何性质定理 1：设 F1、F2 为椭圆 C 的两个焦点P 为 C 上任意一点若直线 AB 切椭圆 C 于点 P则APF1=BPF2定理 2：设 F1、F2 为椭圆 C 的两个焦点P 为 C 上任意一点若直线 AB 为 C 在 P 点的法线则 AB 平分F1PF2上述两定理的证明可以查看参考资料计算机图形学约束椭圆必须一条直径与 X 轴平行另一条直径 Y 轴平行不满足此条件的几何学椭圆在计算机图形学上视作一般封闭曲线标准方程高中课本在平面直角坐标系中用方程描述了椭圆椭圆的标准方程中的“标准“指的是中心在原点对称轴为坐标轴椭圆的标准方程有两种取决于焦点所在的坐标轴： 1）焦点在 X 轴时标准方程为：x2/a2+y2/b2=1 (ab0) 2）焦点在 Y 轴时标准方程为：x2/b2+y2/a2=1 (ab0) 其中 a0b0a、b 中较大者为椭圆长半轴长较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴对称 F 点在 Y 轴轴被椭圆所截有两条线段它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当ab 时焦点在 x 轴上焦距为 2*(a2-b2)0.5焦距与长.短半轴的关系:b2=a2-c2 ,准线方程是 x=a2/c 和 x=-a2/c c 为椭圆的半焦距又及：如果中心在原点但焦点的位置不明确在 X 轴或 Y 轴时方程可设为 mx2+ny2=1(m0n0mn)既标准方程的统一形式椭圆的面积是 ab椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸它的参数方程是：x=acos y=bsin 标准形式的椭圆在(x0y0)点的切线就是 ： xx0/a2+yy0/b2=1 lk 一般方程Ax2;+Bxy+Cy2;+Dx+Ey+F=0 (A.C 不为 0) 公式椭圆的面积公式S=(圆周率)ab(其中 a,b 分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或 S=(圆周率)AB/4(其中 A,B 分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式椭圆周长没有公式有积分式或无限项展开式椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和如 L = 0,/24a * sqrt(1-(e*cost)2)dt2(a2+b2)/2) 椭圆近似周长, 其中 a 为椭圆长半轴,e 为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比设椭圆上点 P 到某焦点距离为 PF到对应准线距离为 PL则 e=PF/PL 椭圆的准线方程x=a2/c 椭圆的离心率公式e=c/a(e2c) 椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线 x=+a2/C)的距离,数值=b2/c 椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径 r=a-ex 过左焦点的半径 r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于 x 轴（或 y 轴）的直线与椭圆的两交点 A,B 之间的距离数值=2b2/a 点与椭圆位置关系点 M（x0y0） 椭圆 x2/a2+y2/b2=1 点在圆内： x02/a2+y02/b21 直线与椭圆位置关系y=kx+m x2/a2+y2/b2=1 由可推出 x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切=0 相离0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = (1+k2)|x1-x2| = (1+k2)(x1-x2)2 = (1+1/k2)|y1-y2| = (1+1/k2)(y1-y2)2 椭圆的斜率公式过椭圆上 x2/a2+y2/b2=1 上一点（xy）的切线斜率为 -(b2)X/(a2)y 椭圆焦点三角形面积公式 若F1PF2=, 则 S=b2tan/2 椭圆参数方程的应用求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解 x=acosy=bsin a 为长轴长的一半 相关性质 由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆所以它属于一种圆锥截线例如：有一个圆柱被截得到一个截面下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）： 将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压它们碰到截面的时候停止那么会得到两个公共点显然他们是截面与球的切点设两点为 F1、F2 对于截面上任意一点 P过 P 做圆柱的母线 Q1、Q2与球、圆柱相切的大圆分别交于 Q1、Q2 则 PF1=PQ1、PF2=PQ2所以 PF1+PF2=Q1Q2 由定义 1 知：截面是一个椭圆且以 F1、F2 为焦点 用同样的方法也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆 例：已知椭圆 C：x2/a2+y2/b2=1（ab0）的离心率为6/3短轴一个端点到右焦点的距离为3. （1）求椭圆 C 的方程. （2）直线 l：y=x+1 与椭圆交于 AB 两点P 为椭圆上一点求PAB 面积的最大值. （3）在（2）的基础上求AOB 的面积. 一 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为 2a端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义）可知 a=3又 c/a=6/3,代入得 c=2b=(a2-c2)=1,方程是 x2/3+y2/1=1二 要求面积显然以 ab 作为三角形的底边联立 x2/3+y2/1=1y=x+1 解得 x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有(1+k2)x2-x1(中括号表示绝对值）弦长=32/2,对于 p 点面积最大它到弦的距离应最大假设已经找到 p 到弦的距离最大过 p 做弦的平行线可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=设 y=x+m,利用判别式等于 0求得 m=2,-2.结合图形得 m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5), 三 直线方程 x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的2/2,面积 1/2*2/2*32/2=3/4, 历史椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴把椭圆转动 180 度形成的立体图形其外表面全部做成反射面中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜）老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明） 关于圆锥截线的某些历史：圆锥截线的发现和研究起始于古希腊Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究而且都有专著论述其几何性质其中以 Apollonius 所著的八册圆锥曲线论集其大成可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究乃是纯粹从几何学的观点研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广在当年这是一种纯理念的探索并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色此事一直到十六、十七世纪之交Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破它不但开创了天文学的新纪元而且也是牛顿万有引力定律的根源所在由此可见圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一椭圆手工画法（1）：画长轴 AB短轴 CDAB 和 CD 互垂平分于 O 点（2）：连接 AC（3）：以 O 为圆心OA 为半径作圆弧交 OC 延长线于 E 点（4）：以 C 为圆心CE 为半径作圆弧与 AC 交于 F 点（5）：作 AF 的垂直平分线交 CD 延长线于 G 点交 AB 于 H 点（6）：截取 HG 对于 O 点的对称点 HG （7）：HH为长轴圆心分别以 HB、HA 为半径；GG为短轴原心分别以 GC、GD 为半径用一根线或者细铜丝,铅笔,2 个图钉或大头针画椭圆的方法:先画好长短轴的十字线,在长轴上以圆点为中心先找 2 个大于短轴半径的点,一个点先用图钉或者打头针栓好线固定住,另一个点的线先不要固定,用笔带住线去找长短轴的 4 个顶点,此步骤需要多次定位,直到都正好能于顶点吻合后固定住这 2 个点,用笔带住线,直接画出椭圆:)使用细铜丝最好,因为线的弹性较大画出来不一定准确! 椭圆的简单性质 椭圆的俩长顶点与一短顶点所成的角大于椭圆上任一点与俩长顶点的连线 手绘椭圆方法二 （mayue）椭圆的焦距FF(Z)定义为已知椭圆所构成的长轴 X(ab)与短轴 Y(cd)则以长轴一端 A 为圆心短轴 Y 为半径画弧从长轴另一段点 B 引出与弧相切的线段则为该椭圆焦距求证公式为 2(Z/2)2+(Y/2)2+Z=X+Z(平面内与两定点 F、F的距离的和等于常数 2a(2a|FF|)的动点 P 的轨迹叫做椭圆)可演变为 z=x2-y2(xy0)Z 两端点 F、F为定点取有韧性切伸缩系数越小越好的线环绕线段 AF或者 FB 线段任意一组为长度以该长度为固定三角形周长以 F、F 为定点、取构成该三角形上的第三点为动点画弧则构成该椭圆Ellipse()函数函数功能：该函数用于画一个椭圆椭圆的中心是限定矩形的中心使用当前画笔画椭圆用当前的画刷填充椭圆函数原型：BOOL Ellipse(HDC hdc, int nLeftRect, int nTopRect, nRightRect, int nBottomRect). 参数： hdc：设备环境句柄nLeftRect：指定限定矩形左上角的 X 坐标nTopRect：指定限定矩形左上角的 Y 坐标nRightRect：指定限定矩形右下角的 X 坐标nBottomRect：指定限定矩形右下角的 Y 坐标返回值：如果函数调用成功返回值非零；如果函数调用失败返回值是 0双曲线定义：我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于一个常数的轨迹称为双曲线 定义 1： 平面内到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离1）的点的轨迹称为双曲线定义 2：平面内到给定一点及一直线的距离之比大于 1 且为常 数的点的轨迹称为双曲线定义 3：一平面截一圆锥面当截面与圆锥面的母线不平行且与圆锥面的两个圆锥都相交时交线称为双曲线定义 4：在平面直角坐标系中二元二次方程 h(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 满足以下条件时其图像为双曲线1. a,b,c 不都是 02. b2 - 4ac 0在高中的解析几何中学到的是双曲线的中心在原点图像关于 xy 轴对称的情形这时双曲线的方程退化为：x2/a2 - y2/b2 = 1上述的四个定义是等价的重要概念和性质以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质双曲线有两个分支在定义 1 中提到的两给定点称为该双曲线的焦点定义 2 中提到的一给定点也是双曲线的焦点双曲线有两个焦点在定义 2 中提到