- 1 -数列求通项公式与求和数列求通项公式与求和 （Shmily.东）东） 一、一、通项公式通项公式用于1( )nnaaf n型已知条件 先写出数列前几项 观察数列变化规律猜测出通项后，用数学归纳法证明（“退一步”思想）即由已知推出相邻的递推式后将两式作差化简得出结论 构造等差等比数列等）公式法累加法用于等差、等比数列相关公式递推方法猜想归纳法构造辅助数列叠乘法chengcheng 法观察法数列求通项的一般方法nS与na的关系利用112 ,1nnssn ns na ，用于1( )nnaaf ng型已知条件 二、数列求和数列求和 把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后再求和倒序相加法裂项相消法错位相减法分组求和法主要是针对等差等比数列，直接应用求和公式公 式 法 数列求和的一般数列求和的一般 方法（五种）方法（五种）若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子设数列 na的等比数列，数列 nb是等差数列，求数列nnba的前n项和时，常常将nnba的各项乘以 nb的公比，并向后错一项与nnba的同次项对应相减，即可转化为特殊数列求和补充：补充：22 2233(1)(21)(1)2,264n nnnnnnLL2311- 2 -典典型型例例题题 一一通通项项类类型型 形如形如型型 累加法累加法：)(1nfaann（1）若 f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.daann1nadna) 1(1（2）若 f(n)为 n 的函数时，用累加法.方法如下： 由 得：)(1nfaann时，2n) 1(1nfaann，)2(21nfaannKK)2(23faa) 1 (12faa所以各式相加得 ) 1 ()2()2() 1(1ffnfnfaanL即：.111)(nknkfaa为了书写方便，也可用横式来写：时，Q2n) 1(1nfaann112211)()()(aaaaaaaannnnnL=.1) 1 ()2()2() 1(affnfnfL若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 4.已知数列中, 且,求数列的通项公式.na0na)(21nnnanaSna解:由已知得,)(21nnnanaS)(2111 nnnnnSSnSSS- 3 -化简有,由类型(1)有,nSSnn2 12nSSnL322 12又得,所以,又,11aS 11a2) 1(2nnSn0na2) 1(2nnsn则2) 1(2) 1(2nnnnanPSPS：形如：形如型型)(1nfaann（1）若（d 为常数） ，则数列为“等和数列” ，它是一个周期数列，周期为 2，其通项daann1na分奇数项和偶数项来讨论;（2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;)(1nfaann或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.) 1()(11nfnfaann例 1. 数列满足, ,求数列an的通项公式.na01anaann21分析 1：构造 转化为型)(1nfaann解法 1：令nn nab) 1(则.naaaabbn nnn nn nn nn2) 1()() 1() 1() 1(1 11 11 1 时,2n 012) 1()2(2) 1() 1(2) 1(112 121 211abbbnbbnbbn nnn nnLL各式相加:1) 1(2) 1()2() 1() 1() 1(2231Lnnbnn n当 n 为偶数时，.nnnbn 22) 1() 1(2此时nbann当 n 为奇数时，1)21(2nnbn此时,所以.nnab1 nan- 4 -故 ., 1为偶数为奇数nnnnan解法 2：Qnaann21时，2n) 1(21naann两式相减得：. .211nnaa构成以,为首项，以 2 为公差的等差数列;,531Laaa1a构成以,为首项，以 2 为公差的等差数列,642Laaa2a22) 1(112kdkaak.kdkaak2) 1(22 ., 1为偶数为奇数nnnnan评注：结果要还原成 n 的表达式.例 2.（2005 江西卷）已知数列an的前 n 项和 Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.,23, 1),3()21(211SSnn且解：方法一：因为),3()21(31 112 naaaaSSn nnnnnn所以以下同例 1，略答案 .,)21(34,)21(3411为偶数为奇数nn annn类类型型 . . 形如形如型型 累乘法累乘法 )(1nfaann（1）当 f(n)为常数，即：（其中 q 是不为 0 的常数） ，此时数列为等比数列，=.qaann1 na1 1nqa（2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法.由得 时，)(1nfaann2n) 1(1nfaann- 5 -=f(n)f(n-1). 1 12211aaa aa aaannnn nL1) 1 (afL例 1.设是首项为 1 的正项数列，且（=1，2， 3，） ，则它的 na01122 1nnnnaanaann通项公式是=_.na解：已知等式可化为：0) 1()(11nnnnnaanaa()(n+1), 即Q0na*Nn01nnnaa11 nn aann时，2nnn aann11=.1 12211aaa aa aaannnn nL121 121Lnn nn n1评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与na1nana的更为明显的关系式，从而求出.1nana例 2.已知,求数列an的通项公式.1, 111annaann解：因为所以, 11nnaann,11nnaann故又因为,即，),1(11nnana11a011a所以由上式可知,所以,故由累乘法得 01nanaann 111) 1(11 11 11 1111 1223211aaa aa aa aaannnn nL=) 1()!1() 1(12)2() 1(11anannL所以-1.na) 1()!1(1an评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为, 11nnaann若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数),1(11nnana1nnabnnnbb1列的通项公式.PS.PS.形如形如型型)(1nfaann- 6 -（1）若(p 为常数)，则数列为“等积数列” ，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分paann1na奇数项和偶数项来讨论;（2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来) 1(1nfaann分求通项.例 1. 已知数列,求此数列的通项公式.满足na)( ,)21(, 3* 11Nnaaan nn注：同上例类似，略.类型类型 形如形如, ,其中其中) )型型 构造辅助数列构造辅助数列0( ,1cdcaannaa 1（1）若 c=1 时，数列为等差数列;na（2）若 d=0 时，数列为等比数列;na（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.01 且dcna方法如下：设,)(1nnaca得,与题设比较系数得) 1(1ccaann,1dcaann,所以dc) 1()0( ,1ccd所以有：)1(11cdaccdann因此数列构成以为首项，以 c 为公比的等比数列， 1cdan11cda所以 1 1)1(1n nccdacda即：.1)1(1 1 cdccdaan n规律：将递推关系化为,构造成公比为 c 的等比数列dcaann1)1(11cdaccdann从而求得通项公式1cdan)1(111 1 cdaccdan n有时我们从递推关系中把 n 换成 n-1 有,两式相减有dcaann1dcaann1从而化为公比为 c 的等比数列,进而求得通项公式. )(11nnnnaacaa1nnaa,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.)(121aacaan nn- 7 -例 1已知数列中，求通项.na,21 21, 211nnaaana分析：两边直接加上,构造新的等比数列。1cd解：由得,21 211nnaa) 1(2111nnaa所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列1na111a21所以,即 . 1)21(1n na1)21(1n na方法二：由 ,1dcaann时，2n,1dcaann两式相减得 )(11nnnnaacaa,caaaannnn11数列是以=为首项，以 c 为公比的等比数列.1nnaa12aa dac1) 1( 121212233 12212 121)()()(aaaacaaaacaaaacaaaan nnn nnLL)1)(2121nnccaaaaL=( .ccaan11)1121)1(1 cdccdaan n方法三：迭代法由 递推式,1dcaann直接迭代得) 1()(22 21cdacddcacdcaannnn=L)1 (2 33ccdacn)1 (22 11nncccdacL=.1)1(1 cdccdanPSPS 形如形如型型)(1nfpaann.(1)若(其中 k,b 是常数，且)bknnf)(0k- 8 -方法：相减法例 1.在数列中，求通项.na,23, 111naaannna解：， Q,231naann时，2n) 1(231naann两式相减得 .令,则2)( 311nnnnaaaannnaab1231nnbb利用类型 5 的方法知2351n nb即