复数复习一、知识导引：一、知识导引： 1、i 的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1奎屯王新敞新疆nZ44142430nnnniiiinZ2、复数的代数形式：，叫实部，叫虚部，实部和虚部都是实数。,abi a bRab叫做复数集。N Z Q R C.| ,Cabi a bR3、复数相等：；abicdiac 且b=d00abia 且b=04、复数的分类：0,0)0)0,0)Zabiaa 实数 (b=0)复数一般虚数(b虚数 (b纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是也没有大小。3,62ii5、复数的模：若向量表示复数 z，则称的模 r 为复数 z 的模， uu rO Zuu rO Z；22|zabiab积或商的模可利用模的性质（1）， （2）112nnzzzzzLL11 2 220zzzzz6、复数的几何意义：复数复平面内的点,zabi a bR 一一对应( , )Z a b，,Zabi a bRuu r一一对应 复数平面向量O Z7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴， y轴叫做虚轴奎屯王新敞新疆，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. , , ,a b c dR复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. , , ,a b c dR复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di；= +=(a，b), , ,a b c dROZ1OZ2OZ+(c，d)=(a+c，b+d)(a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(ac)+(bd)i对应奎屯王新敞新疆由于，两1212Z ZOZOZuu ru ruuu u ruuuu r个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9. 特别地， zBzA.，为两点间的距离。ABzu u u rBAABzABzzu u u rz 对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；， z 对应的点12| |zzzz12Z Z0|zzr的轨迹是一个圆；， z 对应的点的轨迹是一个椭圆；1212| 22zzzza Z Za， z 对应的点的轨迹是双曲线。1212|22zzzza Z Za10、显然有公式：1212122222 1212122zzzzzzzzzzzz11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i. , , ,a b c dR复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集 R 中正整数指数的运算律,在复数集 C 中仍然成立.即对 z1,z2,z3C 及 m,nN*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.复数的除法：(a+bi)(c+di)= ，分母实12z zdicbia 2222acbdbcadicdcd, , ,a b c dR数化是常规方法 12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭 复数；特别地，虚部不为 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数；，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。,zabi zabi a bR22|zzab，2222,z zabR z zzz11 12121212 22,zzzzzzzzzzzz13、熟记常用算式：，1ii ii2)1 (2ii2)1 (2iii 11iii 1114、复数的代数式运算技巧：（1） ii2)1 (2ii2)1 (2iii 11iii 11（2） “1”的立方根的性质：i23 21 13201211115、实系数一元二次方程的根问题：（1）当时，方程有两个实根 。042acb21,xx（2）当时，方程有两个共轭虚根，其中 。042acb21xx 此时有 且且。acxxxx212 22 1aibx22, 1注意两种题型： 2 21 1x xx x( (1 1) )2 21 1x xx x( (2 2) )虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适 用韦达定理。已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：1 12 2x xx x 0 0c cb bx xa ax x2 21 12 2x xx x （1）当时，042acbaacbxxxxxx44)(2212 2112(2)当时，042acbabacxxxxxx2212 211244)(已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：2 21 1x x, ,x x0 0c cb bx xa ax x2 21 12 2x xx x （1）当时，042acb即，则 , 021 xx0ac abxxxx2112即，则 , 021 xx0ac aacbxxxxxxxx44)(2212 212112（2）当时，042acbacxxxxx22221112二、经典例题：二、经典例题：例例 1 1 （1）复数等于( )(1 + i)2 1i（2）若复数同时满足2 ，（ 为虚数单位） ，则 zz zi ziziz（3）设a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.adbc=0 B.acbd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0（4）已知（ ）niminmniim是虚数单位，则是实数，其中11 (A)1+2i (B) 12i (C)2+i (D)2i （5）设为实数，且，则 。, x y5 11 21 3xy iiixy例例 2 2：（：（1 1）计算： 19961232132 iii（2 2）设复数 z 满足关系，求 z；izz2|（3 3）若，解方程Cxxix31|例例 3 3：(1)复数 z 满足，则 z 对应的点在复平面内表示的图形为（ ）1|22izizA直线 B圆 C椭圆 D抛物线（2 2）设复数 z 满足：，求|z|的最大值与最小值；3|33|iz（3）已知 zC，|z2|=1 且复数 z2 对应的点落在直线 y=x 上，求 z。(4)设，则复数，在复平面内对应的图形面积为_。2|1 ,zCz)1 (izu例例 4 4：已知 z=1+i，a，b 为实数，(1)若 =z2+34,求|; z(2)若，求 a，b 的值。izzbazz1122例例 5 5：设且是纯虚数，求的最大值。 ,Cz1zz|iz