Wallis 公式及其应用公式及其应用本文讲述本文讲述 Wallis 公式公式，以及它的推导过程。然后讲述 Wallis 公式的两个重要应用，即推导推导Stirling 公式公式和求解求解 Euler-Poisson 积分积分。 Contens1. 什么是什么是 Wallis 公式公式2. Wallis 公式的推导过程公式的推导过程3. 利用利用 Wallis 公式推导公式推导 Stirling 公式公式4. 利用利用 Wallis 公式求解公式求解 Euler-Poisson 积分积分1. 什么是什么是 Wallis 公式公式Wallis 公式是关于圆周率的无穷乘积的公式，公式内容如下其中，开方后还可以写成2. Wallis 公式的推导过程公式的推导过程Wallis 公式的推导采用对在区间内的积分完成，令用部分积分法得到如下推导过程进一步得到所以继续得到所以最终得到由的单调性可知即得到由两边夹挤准则两边夹挤准则得到这样就推导出了 Wallis 公式公式。3. 利用利用 Wallis 公式推导公式推导 Stirling 公式公式斯特林公式斯特林公式如下接下来利用 Wallis 公式公式来推导斯特林公式斯特林公式。借助函数的图像面积，通常有三种求法，分别是积分法积分法，内接梯形分割法内接梯形分割法，外切梯外切梯形分割法形分割法。实际上最准确的是第一种，后面两种都有一定误差。对于积分法求面积有对于内接梯形分割法有很容易知道，令，很容易证明为有界递增序列，则接下来令，则有极限，设则根据 Wallis 公式公式得到进一步化简得到所以最终得到带入原式得到斯特林公式斯特林公式4. 利用利用 Wallis 公式求解公式求解 Euler-Poisson 积分积分在上面，我通过 Wallis 公式完美地推导了斯特林公式，接下来继续看 Wallis 公式的另一个应用，即求解求解Euler-Poisson 积分积分。Euler-Poisson 积分是无限区间上的非正常积分它在概率论等数学分支以及其它自然科学中都有重要应用，由于它的被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此不能用牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式求它的值。现在我就用上面学到的 Wallis 公式来求解。借助函数在时取得最大值 1，因此对于任何，都有，从而得到和，所以对任意自然数都有由于那么，我们又知道即得到不等式为同时取平方后得到由 Wallis 公式公式可以推出，在的情况下，两边都是以为极限，由两边夹挤准则两边夹挤准则得到