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第 1 页 共 13 页初三数学初三数学 二次函数二次函数 知识点总结知识点总结一、二次函数概念:一、二次函数概念:1二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。 2yaxbxcabc何何0a 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零二次函数的定义域是全0a bc何体实数2. 二次函数的结构特征:2yaxbxc 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是 2xx 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项abc何何abc二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:的性质:2yaxa 的绝对值越大,抛物线的开口越小。2. 的性质:2yaxc上加下减。3. 的性质:2ya xh左加右减。的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上00何轴y时,随的增大而增大;时,0x yx0x 随的增大而减小;时,有最小yx0x y 值00a 向下00何轴y时,随的增大而减小;时,0x yx0x 随的增大而增大;时,有最大yx0x y 值0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c何轴y时,随的增大而增大;时,0x yx0x 随的增大而减小;时,有最小yx0x y 值c0a 向下0c何轴y时,随的增大而减小;时,0x yx0x 随的增大而增大;时,有最大yx0x y 值c的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h何X=h时,随的增大而增大;时,xhyxxh 随的增大而减小;时,有最小yxxhy 值0第 2 页 共 13 页4. 的性质:2ya xhk三、二次函数图象的平移三、二次函数图象的平移1. 平移步骤:方法一: 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;2ya xhkhk何 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:2yaxhk何【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 【 (kO;4a+cO,其中正确结论的个数 为( )A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D4 个 答案:D第 8 页 共 13 页会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知:关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2,且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2,则抛物线的顶点坐标为( )A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D(3,2) 答案:C 例 4、如图(单位:m) ,等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动,直到 AB 与 CD 重 合设 x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2 (1)写出 y 与 x 的关系式; (2)当 x=2,3.5 时,y 分别是多少? (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、 对称轴.例 5、已知抛物线 y=x2+x-1 25 2 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴 (2)若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,求线段 AB 的长 【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程 的关系例 6、 “已知函数的图象经过点 A(c,2) , cbxxy2 21求证:这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程, 并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。 (2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。 点评: 对于第(1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结 论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点 A(c,2) ” ,就可以列出两个 方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题,只要给 出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添 加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交 点的坐标等。解答 (1)根据的图象经过点 A(c,2) ,图象的对称轴是 x=3,得cbxxy2 21 , 3212, 2212bcbcc解得 . 2, 3cb所以所求二次函数解析式为图象如图所示。. 23212xxy第 9 页 共 13 页(2)在解析式中令 y=0,得,解得023212 xx. 53,5321xx所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是(3+”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标)0 ,5是).0 ,53( 令 x=3 代入解析式,得,25y所以抛物线的顶点坐标为23212xxy),25, 3( 所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。)25, 3( 函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数; 将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE(如图) ,其中 AF=2,BF=1试在 AB 上求一 点 P,使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查 学生的综合应用能力同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元,试销阶段每件产品的销售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关 系如下表: x(元)152030 y(件)252010若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数(1)求出日销售量 y(件)与销售价 x(元)的函数关系式;(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?【解析】 (1)设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-1,b=40,即一次函数表1525, 220kb kb 达式为 y=-x+40(2)设每件产品的销售价应定为 x 元,所获销售利润为 w 元w=(x-10) (40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225产品的销售价应定为 25 元,此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点:(1)设未知数在 “当某某为何值时,什么最大(或最小、最省) ”的设问中,“某某”要设为自变量, “什么”要设为函 数;(2)问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程第 10 页 共 13 页二次函数对应练习试题二次函数对应练习试题一、选择题一、选择题1. 二次函数的顶点坐标是( )247yxxA.(2,11) B.(2,7) C.(2,11) D. (2,3)2. 把抛物线向上平移 1 个单位,得到的抛物线是( )22yx A. B. C. D. 22(1)yx 22(1)yx 221yx 221yx 3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )2ykxk(0)kykx4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号;2(0)yaxbxc a当和时,函数值相等;当时, 的值只能取 0.其中正1x 3x 40ab2y x确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个5.已知二次函数的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由2(0)yaxbxc a图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是( x20axbxc121.3xx和). B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数的图象如图所示,则点在( )2yaxbxc(,)ac bcA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程的正根的个数为( )222xxxA.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为yA. B. 22yxx22yxx C. 或 D. 或22yxx22yxx 22yxx 22yxx第 11 页 共 13 页二、填空题二、填空题9二次函数的对称轴是,则_。23yxbx2x b 10已知抛物线 y=-2(x+3)+5,如果 y 随 x 的增大而减小,那么 x 的取值范围是_.11一个函数具有下列性质:图象过点(1,2) ,当0 时,函数值随自变量的增大而增大;xyx满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可) 。12抛物线的顶点为 C,已知直线过点 C,则这条直线与两坐标轴所围成的22(2)6yx3ykx 三角形面积为 。13. 二次函数的图象是由的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单2241yxx22yxbxc位得到的,则 b= ,c= 。14如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是 16 米,跨度是 40 米,在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方,桥的高度是 ( 取 3.14). 三、解答题:三、解答题:15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).30xy5 2(1)求这个二次函数的解析式;(2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值随 x 的增大而增大?y16.某种爆竹点燃后,其上升高度 h(米)和时间 t(秒)符合关系式 (0t2) ,其中重2 01 2hv tgt力加速度 g 以 10 米/秒2计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升,(1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地 15 米?(2)在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由. 第 15 题图第 12 页 共 13 页17.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交2yxbxc3yx点 A、B,此抛物线与轴的另一个交点为 C,抛物线顶点为 D.x(1)求此抛物线的解析式;(2)点 P 为抛物线上的一个动点,求使:5 :4 的点 PAPCSACDS的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)当每吨售价为260 元时,月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现:当每吨售价每下降 10 元时,月销售量就会增加 7. 5吨综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设每吨材料售价为 x(元),该经销店的月利润为 y
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