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【数学数学】2010】2010 年高考试题年高考试题数学数学( (福建卷福建卷)()(理理) )2010 年高考试题-数学(理) (福建卷)第 I 卷(选择题 共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1的值等于( )ABCD【答案】A【解析】原式=,故选 A。【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数,考查基础知识,属保分题。2以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A B C D【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0) ,即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半径为,故所求圆的方程为,即,选D。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题。3设等差数列的前 n 项和为,若,则当取最小值时,n 等于A6 B7 C8 D9【答案】A【解析】设该数列的公差为,则,解得,所以,所以当时,取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用,考查二次函数最值的求法及计算能力。4函数的零点个数为 ( )A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】当时,令解得;当时,令解得,所以已知函数有两个零点,选 C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想。所以,故,所以选项 A、C 正确;因为平面,所以平面,又平面, 故,所以选项 B 也正确,故选 D。【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质,考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。7若点 O 和点分别是双曲线的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )A B C D【答案】B【解析】因为是已知双曲线的左焦点,所以,即,所以双曲线方程为,设点 P,则有,解得,因为, ,所以=,此二次函数对应的抛物线的对称轴为,因为,所以当时,取得最小值,故的取值范围是,选 B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。8设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点 A 与中的任意一点 B, 的最小值等于( )A B4 C D2【答案】B【解析】由题意知,所求的的最小值,即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,可看出点(1,1)到直线的距离最小,故的最小值为,所以选 B。A B C D【答案】C【解析】经分析容易得出正确,故选 C。【命题意图】本题属新题型,考查函数的相关知识。二、填空题11在等比数列中,若公比,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 【答案】【解析】由题意知,解得,所以通项。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 【答案】【解析】由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,所以底面积为,侧面积为,所以其表面积为。【命题意图】本题考查立体几何中的三视图,考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。13某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 。【答案】0128【解析】由题意知,所求概率为。【命题意图】本题考查独立重复试验的概率,考查基础知识的同时,进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。14已知函数和的图象的对称轴完全相同。若,则的取值范围是 。【答案】【解析】由题意知, ,因为,所以,由三角函数图象知:的最小值为,最大值为,所以的取值范围是。【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查了数形结合的数学思想。15已知定义域为的函数满足:对任意,恒有成立;当时, 。给出如下结论:对任意,有;函数的值域为;存在,使得;“函数在区间上单调递减“的充要条件是 “存在,使得“。其中所有正确结论的序号是 。【答案】【解析】对,因为,所以,故正确;经分析,容易得出也正确。【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件,熟练基础知识是解答好本题的关键。0149P所以=。17 (本小题满分 13 分)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点。(1)求椭圆 C 的方程;(2)是否存在平行于 OA 的直线,使得直线与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与的距离等于 4?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由。【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。【解析】 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为,且可知左焦点为概率为。(i)当点 C 在圆周上运动时,求的最大值;(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值。【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概型等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。【解析】 ()因为平面 ABC,平面 ABC,所以,因为 AB 是圆 O 直径,所以,又,所以平面,而平面,所以平面平面。() (i)设圆柱的底面半径为,则 AB=,故三棱柱的体积为=,又因为,所以=,当且仅当时等号成立,从而,而圆柱的体积,故=当且仅当,即时等号成立,所以的最大值是。(ii)由(i)可知,取最大值时, ,于是以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图) ,则 C(r,0,0) ,B(0,r,0) ,(0,r,2r) ,因为平面,所以是平面的一个法向量,设平面的法向量,由,故,取得平面的一个法向量为,因为,所以。19 (本小题满分 13 分)。 ,轮船位于港口 O 北偏西且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。【解析】如图,由(1)得而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,故轮船与小艇不可能在 A、C(包含 C)的任意位置相遇,设,OD=,由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为和,所以,解得,从而值,且最小值为,于是当取得最小值,且最小值为。此时,在中, ,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。20 (本小题满分 14 分)()已知函数, 。(i)求函数的单调区间;(ii)证明:若对于任意非零实数,曲线 C 与其在点处的切线交于另一点,曲线 C 与其在点处的切线交于另一点,线段()对于一般的三次函数() (ii)的正确命题,并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】 () (i)由得=,当和时, ;当时, ,因此,的单调递增区间为和,单调递减区间为。21本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2题做答,满分 14 分。如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。(1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换已知矩阵 M=, ,且,()求实数的值;()求直线在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程。(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中,直线的参数方程为(t 为参数) 。在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为。()求圆 C 的直角坐标方程;()设圆 C 与直线交于点 A、B,若点 P 的坐标为,求|PA|+|PB|。(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数。()若不等式的解集为,求实数的值;()在()的条件下,若对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。(1)选修 4-2:矩阵与变换【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力。【解析】 ()由题设得,解得;()因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线(或点) ,所以可取直线上的两(0,0) , (1,3) ,由,得:点(0,0) , (1,3)在矩阵 M 所对应的线性变换下的像是(0,0) , (-2,2) ,从而直线在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为。(2)选修 4-4:坐标系与参数方程【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力。【解析】 ()由得即()将的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得,即由于,故可设是上述方程的两实根,所以故由上式及 t 的几何意义得:|PA|+|PB|=。(3)选修 4-5:不等式选讲【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力。【解析】 ()由得,解得,又已知不等式的解集为,所以,解得。()当时, ,设,于是=,所以当时, ;当时, ;当时, 。知识改变命运,学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿,稿酬丰厚 邮箱:zxjkw163.com第 1 页 共 13 页
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