1 / 21高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系: , .UxACxAxA2 集合 的子集个数共有 个；真子集有 个；非空子集有 个；非空的真子集12,na 2n21n21n有 个.n3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式 ;2()(0)fxabc(2) 顶点式 ;（当已知抛物线的顶点坐标 时，设为此式）)hak(,)hk(3) 零点式 ；（当已知抛物线与 轴的交点坐标为 时，12xx12(,0),x设为此式）（4）切线式： 。 （当已知抛物线与直线 相切且切点0()(),0df yd的横坐标为 时，设为此式）0x4 真值表： 同真且真，同假或假5 常见结论的否定形式;原结论 反设词 原结论 反设词是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有 个n至多有（ ）个1n小于 不小于 至多有 个 至少有（ ）个对所有 ，成立x存在某 ，不成立x或pq且pq对任何 ，不成立 存在某 ，成立 且 或6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否 否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非充要条件： (1)、 ，则 P 是 q 的充分条件，反之，q 是 p 的必要条件； p（2） 、 ，且 q p，则 P 是 q 的充分不必要条件；(3)、p p ，且 ，则 P 是 q 的必要不充分条件；4、p p ，且 q p，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。7 函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而增大。（2） 、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的 1212,xDx且 ，都有12()fxf成立，则就叫 f（x）在 x D 上是增函数。 D 则就是 f（x）的递增区间。减函数：(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而减小。 2 / 21（2） 、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的 1212,xDx且 ，都有12()fxf成立，则就叫 f（x）在 x D 上是减函数。 D 则就是 f（x）的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2） 、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数 单调 单调性内层函数 外层函数 复合函数 等价关系：(1)设 那么1212,xabx上是增函数；()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.1212xx,在(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则)(fy0)(xf)(xf 0)(xf为减函数. )(xf8 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：定义：在前提条件下，若有 ，()()(0fxfxf或则 f（x）就是奇函数。性质：（1） 、奇函数的图象关于原点对称；（2） 、奇函数在 x0 和 x0 和 x0y=kx+boy xa0y=ax2+bx+coy x011y=axoy x011y=logaxoyx11 对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是 ;两个)fR)()(ff)(f2ba函数 与 的图象关于直线 对称. (xy2b12 分数指数幂与根式的性质：(1) （ ，且 ）.mna0,nN1（2） （ ，且 ）.1nma,n（3） .()n（4）当 为奇数时， ；当 为偶数时， .n,0|na13 指数式与对数式的互化式: .logbaN(,1)N指数性质：(1)1、 ； （2） 、 （ ） ； (3)、pa01a()mnna(4)、 ； (5)、 ； (,)rsrsQmn指数函数：(1)、 在定义域内是单调递增函数；(1)xya（2） 、 在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）0对数性质： (1)、 ；（2） 、 ； logllog()aaaMNlogllogaaaMN(3)、 ；(4)、 ； (5)、 mblmnab 10(6)、 ； (7)、 l1a log对数函数： 4 / 21(1)、 在定义域内是单调递增函数；log(1)ayx（2） 、 在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）0(3)、 l,(),(1)axax或(4)、 或 og1则 ,(,)x则14 对数的换底公式 : ( ,且 , ,且 , ).loglmaN0a10m10N对数恒等式： ( ,且 , ).logN推论 ( ,且 , ).lmnaab15 对数的四则运算法则:若 a0，a1，M0，N0，则(1) ; (2) ;log()llogalogllogaaaMNN(3) ; (4) 。()naR(,)mnnmR16 平均增长率的问题（负增长时 ）：0p如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 .pxy(1)xp17 等差数列：通项公式： （1） ，其中 为首项，d 为公差，n 为项数， 为末项。1()na1ana（2）推广： kn（3） （注：该公式对任意数列都适用）1(2)nS前 n 项和： （1） ；其中 为首项，n 为项数， 为末项。na1ana（2） 1()2nd（3） （注：该公式对任意数列都适用）nS（4） （注：该公式对任意数列都适用）12na常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有 ；mnpqaa注：若 的等差中项，则有 2 n、m、p 成等差。,mnp是 mn（2） 、若 、 为等差数列，则 为等差数列。abnb（3） 、 为等差数列， 为其前 n 项和，则 也成等差数列。nnS232,mmSS（4） 、 ； ,0pqpqa则 5 / 21（5） 1+2+3+n= 2)1(n等比数列：通项公式：（1） ，其中 为首项，n 为项数，q 为公比。1*()nnaqN1a（2）推广： nkn（3） （注：该公式对任意数列都适用）1(2)aS前 n 项和：（1） （注：该公式对任意数列都适用）nn（2） （注：该公式对任意数列都适用）12a（3） 1(1)()nnqS常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有 ；mnpqa注：若 的等比中项，则有 n、m、p 成等比。,mnp是 2mna（2） 、若 、 为等比数列，则 为等比数列。nabnb18 分期付款(按揭贷款) ：每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).1)(nxab19 三角不等式：（1）若 ，则 .(0,)2xsinta(2) 若 ，则 .1cos2x(3) .|sin|cos|20 同角三角函数的基本关系式 ： ， = ，22in1tancosi21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）22 和角与差角公式; ;sin()sicosicos()ins.tanta1t=sisb2si()b(辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).tanb23 二倍角公式及降幂公式 .sin2icos2tan1 6 / 21.2222cossincos1sin21ta. 2tatan1 costaci2sssi,c224 三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且 A0)的周期in()yxco()yx；函数 ， (A, 为常数，且 A0)的周期 .|Tta(),kZ|T三角函数的图像：-11y=sinx-2 23/2/2-3/2-/2 oy x-11y=cosx-2 23/2/2-3/2- -/2oy x25 正弦定理 ： （R 为 外接圆的半径）.sinisinabcABCABC,sinR:sin:siabcABC26 余弦定理：; ; .22cob22coca22o27 面积定理：（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）.1abcShhabc、 、（2） .1sinsisin2CAB(3) .2(|)()OABO,abcSrrabc斜 边内 切 圆 直 角 内 切 圆 28 三角形内角和定理 ：在ABC 中，有 ()CAB.2CAB229 实数与向量的积的运算律:设 、 为实数，那么：(1) 结合律：( )=() ;a(2)第一分配律：(+) = + ;a(3)第二分配律：( + )= + .b30 与 的数量积(或内积)： =| | | 。abbcos31 平面向量的坐标运算：(1)设 = , = ，则 + = .1)xy2(,)xya12(,)xy(2)设 = , = ，则 - = . (b(3)设 A ，B ,则 .12 21,ABO(4)设 = ，则 = .a,)xyR(,)xy(5)设 = , = ，则 = .1(2(,)xyab12()y32 两向量的夹角公式： 7 / 21( = , = ).122cos|xyaba1)xyb2(,)xy33 平面两点间的距离公式：= (A ，B ).,ABd|AB2211()()1(,)2(,)34 向量的平行与垂直 ：设 = , = ，且 ，则：a1xyb2,xyb0| = .（交叉相乘差为零）ab21( ) =0 .（对应相乘和为零）02135 线段的定比分公式 ：设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且1(,)Pxy2(,)xy(,)Px12P，则12P12xy1O（ ）.12()PttP1t36 三角形的重心坐标公式： ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC1Ax,y2B()3Cxy的重心的坐标是 .123123(,)xyG37 三角形五“心”向量形式的充要条件：设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则OABC,ABC,abc（1） 为 的外心 .22O（2） 为 的重心 .0（3） 为 的垂心 .OA（4） 为 的内心 . abc（5） 为 的 的旁心 .ABCABC38 常用不等式：（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2（2） (当且仅当 ab 时取“=”号)ab（3） 30,).cc（4） .ba（5） (当且仅当 ab 时取“=”号)。22ab39 极值定理:已知 都是正数，则有yx,（1）若积 是定值