1二、差商、差分及插值多项式Newton插值多项式作为一种计算方案有它自身的一些缺点，如要确定在某一点处的Lagrange)(xf*x近似值，预先不知道要选择多少个插值节点为宜.通常的办法是依次算出，直到)(* 1xL)(* 2xL（根据估计）求出足够精确的的近似值为止，其中为在插值节点)(*xf)(*xLk)(xLk)(xf的次插值多项式；即使在计算的过程中，每步都需从头开始计算.我们设想给出kxxx,10Lk)(xLk一个构造的方法，它只需对作一个简单的修正即可.)(xLk)(1xLk考虑-，显然是一个次数不高于的多项式，且对)(xh)(xLk)(1xLk)(xhk有1, 2 , 1 , 0kjL-=-=0)(jxh)(jkxL)(1jkxL)(jxf)(jxf即有个零点.因此，存在一个常数使得)(xhkka或等价于)(xh)()(110kkxxxxxxaL=+)(xLk)(1xLk)()(110kkxxxxxxaL如果常数可以确定，则可以从来求出.ka)(1xLk)(xLk下面确定常数.在的表达式中令得：ka)(xLkkxx =+)(kkxL)(1kkxL)()(110kkkkkxxxxxxaL=ka)()()()(1101 kkkkkkkk xxxxxxxLxL L101)()()(kiikkkkxxxLxf=-（ ） 10)()(kiikkxxxf101)()(kiikkkxxxL10101)()(kmkmiim imik kkxfxxxxxL= kmkmiiimmxxxf00)()(1. 差商及插值多项式Newton按照上式计算仍然比较麻烦，为此，引进差商的概念.ka定义：已知函数在个互异节点处的函数值为，)(xf1nnxxx,10L), 2 , 1 , 0)(nixfiL（1）称2ijij xxxfxf)()(为关于节点的一阶差商，简称一阶差商（或均差） ，记作，即)(xfjixx ,jixxf=,jixxfijij xxxfxf)()(（2）称一阶差商，的差商，为关于节点的二阶差商，记,jixxf,kjxxf)(xfkjixxx,作，即,kjixxxf=,kjixxxfikijkj xxxxfxxf,（3）称阶差商的差商为关于节点的阶差商，记为即1kkxxx,10Lk,10kxxxfL,10kxxxfL011021, xxxxxfxxxfkkk LL约定为关于节点的零阶差商，并记为.), 2 , 1 , 0)(nixfiL)(xfixixf注意注意：（1）由差商的定义可知，若给定在个互异节点上的函数值，则可求出直至)(xf1nnxxx,10L阶的各阶差商.如给定函数表：n则各阶差商可列于下表：kkxkxf,1kkxxf,21kkkxxxf,321kkkkxxxxf01230x0xf,10xxf,210xxxf,3210xxxxf1x1xf,21xxf,321xxxf2x2xf,32xxf3x3xf利用差商表计算各阶差商是很方便的，且，处于表0xf,10xxf,210xxxf,3210xxxxf的第一条横线上. （2）差商有下面重要性质：x0x1x2x3x)(xf )(0xf)(1xf)(2xf)(3xf3性质 1：阶差商是由函数值的线性组合而成，即k,10kxxxfL), 2 , 1 , 0)(nixfiL= ,10kxxxfL kmkmiiimmxxxf00)()(此性质表明，在上面我们要确定的常数就是阶差商，即=，kak,10kxxxfLka,10kxxxfL利用这一性质，我们可以将插值多项式表示成：)(xLn=+)(xLn0xf,10xxf)(0xx ,210xxxf)(10xxxx,10nxxxfL)()(110nxxxxxxL上式右端称为次插值多项式，记为，即nNewton)(xNn=+)(xNn0xf,10xxf)(0xx ,210xxxf)(10xxxx,10kxxxfL)()(110nxxxxxxL给定数据1Expx30 45 60)(xf21 22 23求二次插值多项式.Newton 解：先求差商表kkxkxf,1kkxxf,21kkkxxxf01230 = = = 0xf21,10xxf30451)21 22(,210xxxf) 1223(900145 = = 1xf22,21xxf45601)22 23(60 = 2xf23所以，二次插值多项式为：Newton=+)(2xN21)30(3012x) 1223(9001)45)(30(xx值得注意的是：插值多项式在节点处也满足插值条件，因而由Newton)(xNn)()(iinxfxN4插值多项式的唯一性可知：=，只是插值多项式便于计算罢了.)(xNn)(xLnNewton)(xNn性质 2：差商具有对称性，即在阶差商中任意调换两个节点的顺序，其值不变.k,10kxxxfL这一性质说明：如果已由插值节点求得次插值多项式，现增加一个节点，mxxx,10Lm)(xNmx则只需在差商表的最后加上，依次计算各阶差商即可.其过程如下：xkkxkxf,1kkxxf,21kkkxxxf,321kkkkxxxxf01230x0xf,10xxf,210xxxf,210xxxxf1x1xf,21xxf,21xxxf2x2xf,2xxfxxf2. 差分的概念上面讨论的是节点任意分布的插值多项式，但在实际应用中经常碰到等距节点问题，即节Newton 点为：， ihxxi0ni, 3 , 2 , 1L这里称为步长，此时插值公式可以进一步简化，同时可以避免除法运算.为此，引进差分的概念.h定义：设已知函数在等距节点（）上的函数值为，称)(xfixni, 3 , 2 , 1Liifxf)(iiff1为函数在节点处以步长为的一阶向前差分，简称一阶差分，记作，即)(xfixhif=ifiiff1类似地，称=-imf11 imfimf1为在节点处以步长为的阶向前差分，简称阶差分.)(xfixhmm和差商的计算一样，差分也可以构造差分表计算：kx kfkfkf20x1x2x0f0f02f1f1f2f5并且可以证明，差商与差分之间有如下关系：=,1kiiixxxfLkikhkf !给定数据2Expx30 45 60)(xf21 22 23求二次插值多项式.Newton解：记=15，=30，=45，=60，=30+15 .先求差分表h0x1x2xxtkx kfkfkf230456021 212 2122322 223 23所以=+)1530(2tN21 212 t41223) 1( tt4.3 分段低次插值 一、龙格现象和分段线性插值1. 龙格现象)(Runge前面我们讨论了多项式插值，并给出了相应的余项估计式.从中可以看出：余项的大小既与插值节点的个数有关，也与的高阶导数有关.以插值为例，如果在区间上存在任)(xfLagrange)(xf,ba意阶导数，且存在与无关的常数使得nMMxfnbxa )(max)(那么我们有余项估计式0)()!1()()(max1n nbxaabnMxLxf从中可以看出，插值节点的个数越多，误差越小.但我们不能由此就断定插值节点数越多，误差就越小，这是因为上述的估计是有条件的：在区间上存在高阶导数，且高阶导数要一致有界.)(xf,ba6如：考虑区间上的函数 1 , 1=)(xf22511 x显然有任意阶导数，可以求得，因而)(xf)!2(5) 1()0(2)2(kfkkk.)!2(5)(max2)2(11kxfkkx 如果取等距节点，把等分，分点为：，构造 10 次插值多项式： 1 , 110, 1 , 01021Ljjxj 10010)()()(iiixlxfxL其中，.)(ixf22511ix100)(ijjjij ixxxxxl通过计算我们发现，用来近似替代只有在区间内时，逼近程度最好，)(10xL)(xf2 . 0, 2 . 0在其它地方则误差较大，特别是在端点附近，误差就更大.如，05131. 0)86. 0(f；，.对于高次插值所发生的这种88808. 0)86. 0(10L04160. 0)96. 0(f80438. 1)96. 0(10L现象，称为现象.Runge现象说明插值多项式不一定都能一致收敛于被插函数，由于以上原因，一般都避Runge)(xf免使用高次插值，改进的方法较多，其中一个常用的方法就是分段低次插值.72. 分段线性插值给定在个节点上的数据表)(xf1nbxxxanL10x 0x1x1nxnx)(xf )(0xf)(1xf)(1nxf)(nxf记，.iiixxh1inihh 10max 在每个小区间上利用数据，作线性插值：,1iixx)(,(iixfx)(,(11iixfx=+)(, 1xLi 11)( iii ixxxxxfiii ixxxxxf 11)(则线性插值的余项估计为：)(max8)()(max112, 1xfhxLxfiiiixxxi ixxx 令：,),(,),(,),()(11, 1211 , 1100, 11nnnxxxxLxxxxLxxxxLxLM)(xIh则 .即满足插值条件，称为的分段线性插值函数.其中)( 1ixL)(ixfni, 3 , 2 , 1L)( 1xL)(xf称为区间的一个分划，称为边界点，称为内节点.bxxxanL10,banxx ,011,nxx L利用作为的近似，其余项估计式为)( 1xL)(xf)()(max)()(max11 0xLxfxLxfnxxxbxa =)()(maxmax, 1101xLxfixxxniii)(max8max1210xfhiixxxini )(max82 xfhbxa 上式说明分段线性插值的余项只依赖二阶导数的界，只要的在上存在连续的二阶导数，当)(xf,ba时就有余项一致趋于零.0h3. 分段埃尔米特三次插值)(Hermite采用分段线性插值，虽然计算简单，且具有一致收敛性，但在节点处的导数不一定存在，因而光8滑性较差.在有些实际问题中，如船体放样、机翼设计等要求有二阶光华度，即有连续的一、二阶导数.为了克服这种缺陷，一个自然的想法是添加一阶导数插值条件.由此得到三次插值.Hermite首先考虑两个插值点，且.如果已知：10,xx10xx ， )(kkxfy )(kkxfm1 , 0k则在区间上满足条件,10xx， )