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11乘法公式的复习乘法公式的复习一、复习一、复习: :(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2 (a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2 (a-b)(a-b)2 2=a=a2 2- -2ab+b2ab+b2 2 (a+b)(a(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)=a)=a3 3+b+b3 3 (a-b)(a(a-b)(a2 2+ab+b+ab+b2 2)=a)=a3 3b b3 3 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: 位置变化,位置变化, x x y yy y x xx x2 2 y y2 2 符号变化,符号变化,x x y yx x y yx x 2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 指数变化,指数变化, x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2x x4 4 y y4 4 系数变化,系数变化, 2 2a a b b 2 2a a b b4 4a a2 2 b b2 2 换式变化,换式变化, xyxyz z m mxyxyz z m m xyxy 2 2z z m m 2 2 x x2 2y y2 2z z m m z z m m x x2 2y y2 2z z2 2 zmzm zmzm m m2 2 x x2 2y y2 2 z z2 2 2 2zmzm m m2 2 增项变化,增项变化, x x y y z z x x y y z z x x y y 2 2 z z2 2x x y y x x y yz z2 2 x x2 2 xyxy xyxy y y2 2 z z2 2 x x2 2 2 2xyxy y y2 2 z z2 2 连用公式变化,连用公式变化, x x y y x x y y x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 x x4 4 y y4 4 逆用公式变化,逆用公式变化, x x y y z z 2 2x x y y z z 2 2x x y y z zx x y y z zx x y y z zx x y y z z 2 2x x2 2y y 2 2z z 4 4xyxy 4 4xzxz例例 1 1已知已知,求,求的值。的值。2ba1ab22ba 解:解: = =2)(ba222baba22ba abba2)(2, = =2ba1ab22ba 21222例例 2 2已知已知,求,求的值。的值。8ba2ab2)(ba 解:解: 2)(ba222baba2)(ba222baba 2)(ba2)(baab4= =2)(baab42)(ba , 8ba2ab2)(ba562482例例 3 3:计算:计算 199919992 2-20001998-20001998解析解析此题中此题中 2000=1999+12000=1999+1,1998=1999-11998=1999-1,正好符合平,正好符合平方差公式。方差公式。解:解:199919992 2-20001998-20001998 =1999=19992 2- -(1999+11999+1)(1999-1999-1 1)=1999=19992 2- -(199919992 2-1-12 2)=1999=19992 2- -199919992 2+1+1 =1=1例例 4 4:已知:已知 a+b=2a+b=2,ab=1ab=1,求,求 a a2 2+b+b2 2和和(a-b)(a-b)2 2的值。的值。解析解析此题可用完全平方公式的变形得解。此题可用完全平方公式的变形得解。解:解:a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=4-2=2-2ab=4-2=2(a-b)a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2-4ab=4-4=0-4ab=4-4=0例例 5 5:已知:已知 x-y=2x-y=2,y-z=2y-z=2,x+z=14x+z=14。求。求 x x2 2-z-z2 2的值。的值。解析解析此题若想根据现有条件求出此题若想根据现有条件求出 x x、y y、z z 的值,比较的值,比较麻烦,考虑到麻烦,考虑到 x x2 2-z-z2 2是由是由 x+zx+z 和和 x-zx-z 的积得来的,所以只要求出的积得来的,所以只要求出x-zx-z 的值即可。的值即可。解:因为解:因为 x-y=2x-y=2,y-z=2y-z=2,将两式相加得,将两式相加得 x-z=4x-z=4,所以,所以 x x2 2- -z z2 2= =(x+zx+z)(x-z)=144=56(x-z)=144=56。例例 6 6:判断(:判断(2+12+1) (2 22 2+1+1) (2 24 4+1+1)(2 220482048+1+1)+1+1 的个的个位数字是几?位数字是几?解析解析此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案,此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案,故有一定的规律可循。观察到故有一定的规律可循。观察到 1=1=(2-12-1)和上式可构成循环平)和上式可构成循环平方差。方差。解:(解:(2+12+1) (2 22 2+1+1) (2 24 4+1+1)(2 220482048+1+1)+1+1= =(2-12-1) (2 22 2+1+1) (2 24 4+1+1)(2 220482048+1+1)+1+1=2=240964096=16=1610241024因为当一个数的个位数字是因为当一个数的个位数字是 6 6 的时候,这个数的任意正整的时候,这个数的任意正整数幂的个位数字都是数幂的个位数字都是 6 6,所以上式的个位数字必为,所以上式的个位数字必为 6 6。例例 7 7运用公式简便计算运用公式简便计算(1 1)1031032 2 (2 2)1981982 2解:(解:(1 1)1031032 2100100 3 3 2 2 1001002 2 2 2 100100 3 3 3 32 2 1000010000 600600 9 9 1060910609(2 2)1981982 2200200 2 2 2 2 2002002 2 2 2 200200 2 2 2 22 2 4000040000 800800 4 4 3920439204例例 8 8计算计算(1 1) a a 4 4b b 3 3c c a a 4 4b b 3 3c c (2 2) 3 3x x y y 2 2 3 3x x y y 2 2 解:(解:(1 1)原式)原式a a 3 3c c4 4b ba a 3 3c c4 4b ba a 3 3c c 2 24 4b b 2 2 a a2 2 6 6acac 9 9c c2 2 1616b b2 2(2 2)原式)原式3 3x xy y 2 23 3x xy y 2 29 9x x2 2 y y2 2 4 4y y 4 49 9x x2 2 y y2 2 4 4y y 4 4例例 9 9解下列各式解下列各式(1 1)已知)已知a a2 2 b b2 2 1313,abab 6 6,求,求 a a b b 2 2, a a b b 2 2的值。的值。(2 2)已知)已知 a a b b 2 2 7 7, a a b b 2 2 4 4,求,求a a2 2 b b2 2,abab的值。的值。(3 3)已知)已知a a a a 1 1a a2 2 b b2 2,求,求的值。的值。222abab分析:在公式分析:在公式 a a b b 2 2 a a2 2 b b2 2 2 2abab中,如果把中,如果把a a b b,a a2 2 b b2 2和和22abab分别看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个分别看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个。就可以求出第三个。解:(解:(1 1)a a2 2 b b2 2 1313,abab 6 6a a b b 2 2 a a2 2 b b2 2 2 2abab 1313 2 2 6 6 2525 a a b b 2 2 a a2 2 b b2 2 2 2abab 1313 2 2 6 6 1 1(2 2) a a b b 2 2 7 7, a a b b 2 2 4 4 a a2 2 2 2abab b b2 2 7 7 a a2 2 2 2abab b b2 2 4 4 得得 2 2 a a2 2 b b2 21111,即,即2211 2ab 得得 4 4abab 3 3,即,即3 4ab (3 3)由)由a a a a 1 1a a2 2 b b2 2 得得a a b b2 222 221222abababab22112222ab 例例 1010四个连续自然数的乘积加上四个连续自然数的乘积加上 1 1,一定是平方数吗?,一定是平方数吗?为什么?为什么?分析:由于分析:由于 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2525 5 52 22 2 3 3 4 4 5 5 1 1 121121 11112 23 3 4 4 5 5 6 6 1 1 361361 19192 2
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