12003 年2010 年山西省压轴题1. (2003 年 14 分）如图，已知圆心 A（0，3） ，A 与 x 轴相切，B 的圆心在 x 轴的正半轴上，且B 与A 外切于点 P，两圆的公切线 MP 交 y 轴于点 M，交 x 轴于点 N。（1）若，求直线 MP 的解析式及经过 M、N、B 三点的抛物线的解析sinOAB4 5 式。（2）若A 的位置大小不变，B 的圆心在 x 轴的正半轴上移动，并使B 与A 始 终外切，过 M 作B 的切线 MC，切点为 C，在此变化过程中探究：四边形 OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明。经过 M、N、B 三点的抛物线内是否存在以 BN 为腰的等腰三角形？若存在，表示 出来；若不存在，说明理由。1 解：（1）在中，Rt AOBQ OAOAB34 5，sincosOAB3 5ABOBBP54532，在中，Rt APMAP AMOABcos3 5AMOM52，点（2 分）M()02， 又NPBAOBBN BPAB OBBN52 45 2ONOBBN45 23 2点（4 分）N()3 20，设 MP 的解析式为ykxb2经过 M、N 两点Q MP得bkb 23 20解之，得bk 24 3的解析式为（6 分） MPyx4 32设过 M、N、B 的抛物线解析式为ya xx()()3 24且点，可得M()02， a 1 3抛物线的解析式为yxx 1 33 24()()即（8 分）yxx 1 311 622（2）四边形 OMCB 是矩形。 （9 分）证明：在A 不动、B 运动变化过程中，恒有 BAOMAPOAAPAOBAPM，90AOBAPMOBPMABAM，而，（10 分）PBOMPBPCOMBC由切线长定理知 MCMP，MCOB四边形 MOBC 是平行四边形。 （11 分）又，四边形 MOBC 是矩形。 （12 分）Q MOB90存在。由上证明可知Rt MONRt BPNBNMN，因此在过 M、N、B 三点的抛物线内有以 BN 为腰的等腰三角形 MNB 存在由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点与 M 关于其对称轴对称MBNBM这样得到满足条件的三角形有两个，和（14 分）MNBM NB 2（2004 年 14 分）已知次函数的图象经过点 A（-3，6） ，并与 x 轴交于点 B（-1，0）和21 2yxbxc点 C，顶点为 P. （1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系 中画出该二次函数的图象； （2）设 D 为线段 OC 上的一点，满足DPC=BAC，求点 D 的坐标； （3）在 x 轴上是否存在一点 M，使以 M 为圆心的圆3与 AC、PC 所在的直线及 y 轴都相切？如果存 在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.2 （1）解：二次函数的图象过点 A（-3，6） ，B（-1，0）21 2yxbxc得 解得9362 102bcbc 1 3 2bc 这个二次函数的解析式为：（4 分）213 22yxx由解析式可求 P（1，-2） ，C（3，0） （5 分）画出二次函数的图象（6 分）11-1-24- 323056EM-1-223AC xTyB DMFSGHP（第 28 题）10 -112-1-24-3235-23xy（第 28 题）4（2）解法一：易证：ACB=PCD=45 又已知：DPC=BAC DPCBAC（8 分）DCPC BCAC易求6 2,2 2,4ACPCBC 4 3DC 45333OD （10 分）5,03D解法二：过 A 作 AEx 轴，垂足为 E. 设抛物线的对称轴交 x 轴于 F. 亦可证AEBPFD.（8 分）.PEEB PFFD易求：AE=6，EB=2，PF=2 2 3FD 25133OD （10 分）5,03D（3）存在. （1）过 M 作 MHAC，MGPC 垂足分别为 H、G，设 AC 交 y 轴于 S，CP 的延长线交 y 轴 于 T SCT 是等腰直角三角形，M 是SCT 的内切圆圆心， MG=MH=OM（11 分）又且 OM+MC=OC2MCOM23,3 23OMOMOM得（12 分）3 23,0M（2）在 x 轴的负半轴上，存在一点 M同理 OM+OC=MC，2OMOCOM得 3 23OM M（14 分）3 23,0即在 x 轴上存在满足条件的两个点.说明：只写出 M、M的坐标，没有过程的，不得分.53 （2005 年 14 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy，半径为 1 的O 分别交 x 轴、y 轴于 A、B、C、D 四点， 抛物线 y=x2+如+c 经过点 C 且与直线 AC 只有一个公共点(1)求直线 AC 的解析式(2)求抛物线 y=x2+bx+c 的解析式(3)点 P 为(2)中抛物线上的点，由点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q，问：此抛物线上是否 存在这样的点 P，使PQBADB?若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 3解：（1）故直线 AC 的解析式为 y=-x-1(2)抛物线过 C(0，-1)点 x2+(b+1)x=0 直线 AC 与抛物线只有一个公共点 C， 方程 x2+(b+1)x=O 有两个相等实数根，即=O b1=b2=-1 抛物线解析式为 y=x2-x-1 (3)假设存在符合条件的点 P 设 P 点坐标为(a，a2-a-1)，则 Q(a，0)ADB 为等腰 RtPOBADB 则PQB 为等腰 Rt，又 PQQBPQ=QB 即|a2-a-1|=|a-1|a1=0 a2=2 a3=2 a4=-2 存在符合条件的点 P，共有四个，分别为 P1(O，-1)、P2(2，1)、P3(2 ，1-2 )、P4(-2 ，1+2 )64 （2006 年 14 分）如图所示，在平面直角坐标系中有点，点，以为直径的半圆交10A ，4 0B，AB轴正半轴于点yC （1）求点的坐标；C （2）求过，三点的抛物线的解析式；ABC （3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点，使四边形为直角梯形，求直线DBOCD 的解析式；BD（4）设点是抛物线上任意一点，过点作轴，交轴于点若在线段MMMNyyN上有且只有一点，使为直角，求点的坐标ABPMPNM4 （1）解：如图，连结，依相交弦定理的推论可得，解得ACCB2OCOA OBg2OC 点的坐标为 （2 分）C0 2，（2）解法一：设抛物线解析式是 （3 分）2yaxbxc0a把，三点坐标代入上式得解之得10A ，4 0B，0 2C，0 1640 2abc abc c ， ， ，1 2 3 2 2abc ，抛物线解析式是（6 分）213222yxx 解法二：设抛物线解析式为（3 分）14ya xxy4xO1（第 27 题）BACy C4xO1BDA（第 27 题）7把点的坐标代入上式得0 2C，1 2a 抛物线解析式是（6 分）213222yxx （3）解法一：如图，过点作，交抛物线于点，则四边形为直角梯CCDOBDBOCD形设点的坐标是，代入抛物线解析式整理得，D2x，230xx解之得，10x 23x 点的坐标为（7 分）D3 2，设过点，点的解析式是BDykxb把点，点的坐标代入上式得4 0B，3 2D，4032kbkb ，解之得（9 分）28kb ，直线的解析式是（10 分）BD28yx 解法二：如图，过点作，交抛物线于点，则四边形为直角梯形CCDOBDBOCD由（2）知抛物线的对称轴是，3 2x 点的坐标为（7 分）D3 2，（下同解法一）（4）解：依题意可知，以为直径的半圆与线段相切于点MNABP设点的坐标为Mmn，当点在第一或第三象限时，M2mn把点的坐标代入抛物线的解析式得M2nn，解之得210nn 15 2n（第 27 题）ANCyM B x4PO18点的坐标是或（12 分）M15152，15152，当点在第二或第四象限时，M2mn 把点的坐标代入抛物线的解析式得，解之得M2nn，2210nn 12n 点的坐标是或M22 212 ，22 212 ，综上，满足条件的点的坐标是，M15152，15152，（14 分）22 212 ，22 212 ，5 5 （2007 年 14 分) 关于 x 的二次函数 yx2(k24)x2k2 以 y 轴为对称轴，且与 y 轴的交点在轴 上方 (1)(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图； (2)(2)设 A 是 y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点 A 作 AB 垂直 x 轴于点 B，再过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 C，得到矩形 ABCD设矩形 ABCD 的周长为 l，点 A 的横 坐标为 x，试求 l 关于 x 的函数关系式； (3)(3)当点 A 在 y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形 ABCD 能否成为正方形若能，请求出 此时正方形的周长；若不能，请说明理由5 5解：(1)(1)根据题意得：k240 k2 当 k2 时，2k220 当 k2 时，2k260 又抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方 k2 抛物线的解析式为：yx22 函数的草图如图所示： (2)(2)令x220，得 x2 当 0x时，A1D12x，A1B1x222 l2(A1B1A1D1)2x24x4 当 x时，A2D22x2 A2B2(x22)x22 l2(A2B2A2D2)2x24x4l 关于 x 的函数关系式是： )2x(4x4x2)2x0(4x4x2l22(第 26 题图)A1A2B1B2 C1D1C2D2xy9(3)(3)解法：当 0x时，令 A1B1A1D12 得 x22x20 解得 x1(舍)，或 x133 将 x1代入 l2x24x43 得 l883 当 x时，A2B2A2D22 得 x22x20 解得 x1(舍)，或 x133 将 x1代入 l2x24x43 得 l883 综上所述，矩形 ABCD 能成为正方形，且 当 x1时，正方形的周长为 8