271.271. 下列命题中正确的是（ ） A平面和分别过两条互相垂直的直线，则B若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则C若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则D若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则解析：解析：C内的直线 l 垂直内的相交直线 a、b，则 l l， 272.272. 设两个平面互相垂直，则（ ） A一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面B过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上C过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D分别在两个平面内的两条直线互相垂直解析：解析：B如图答 9-38，在正方体中，平面平面ABCD，其中1111DCBAABCDDDAA11平面，但不垂直平面ABCD，故 A 不正确点D在交线AD上，DA1DDAA11DA1，但不垂直平面ABCD，故 C 不正确平面，AC平面ADDC1DC11ADDDAA11ABCD，但与AC不垂直，故 D 不正确1AD273.273. 如图 9-43，AOB 是二面角-CD-的平面角，AE 是AOB 的 OB 边上的高，回答 下列问题，并说明理由：（1）CD 与平面 AOB 垂直吗?（2）平面 AOB 与、垂直吗?（3）AE 与平面垂直吗?解析：解析：（1） AOB 是二面角-CD-的平面角， OBCD，OACD， CD 平面 AOB（2） CD平面 AOB，CD， 平面 AOB同理平面 AOB（3） CD平面AOB， AE平面AOB， COAE，又 AEOB，CDOB=O， AE平面BCD，即AE 274.274. 如图 9-44，以等腰直角三角形的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，使ABD 和ACD 折 成相垂直的两个面求证：BDCD，BAC=60图 9-44解析：解析： AD 是等腰ABC 底边 BC 上的高线， ADBD，ADDC， BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角， 平面 ABD平面 ACD， BDC=90，即BDDC连结 BC，设 AD=a，则 BD=DC=AD=a，aAB2aAC2， AB C 是正三角形， BAC=60aBC2275.275. 直线 a、b 是异面直线，a平面 ，b平面 ，ab，求证：.证明证明 过 b 上任意一点作直线 a，使 aa.ab,ab.设相交直线 a、b 确定一个平面,c.b,c,bc.来源:学&科&网Z&X&X&K在平面内，bc,ba,ac.aac.又a,c,c，276.276. 在三棱锥 SABC 中，ASBBSC60，ASC90，且 SASBSC，求证： 平面 ASC平面 ABC.证明证明 取 AC 的中点 O，连 SO、BO，由已知，得 SAB、SBC 都是正三角形. BCABa,SASCa,又 SOAC，BOAC，SOB 就是二面角 SACB 的平面角.又 SAABa,SCBCa,ACAC,ACSACB.SOBOa.在 SOB 中，SBa,SOB90.22即平面 SAC平面 ABC.另证：过 S 作 SO平面 ABC，垂足是 O.SASBSC，S 在平面内的射影是 ABC 的外 心，同前面的证明，可知 ABC 是直角三角形，O 在斜边 AC 上.又平面 SAC 经过 SO，平面 SAC平面 ABC来源:学科网说明说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是 90，或利用判定定理证明 一个平面经过另一个平面的垂线.277.277. 如图，四面体 ABCD 的棱 BD 长为 2，其余各棱的长均是，求：二面角2ABDC、ABCD、BACD 的大小.解析：解析：(1)取 BD 的中点 O，连 AO、OC.在 ABD 中，ABAD，BD2，2ABD 是等腰直角三角形，AOBD，同理 OCBD.AOC 是二面角 ABDC 的平面角又 AOOC1，AC，AOC90.即二面角 ABDC 为直二面角.2(2)二面角 ABDC 是直二面角，AOBD，AO平面 BCD.ABC 在平面 BCD 内的射影是 BOC.SOCB,SABC,cos.即二面角 ABCD 的大小是 arccos.21 23 33 33(3)取 AC 的中点 E，连 BE、DE.ABBC，ADDC，BDAC，DEAC，BED 就是二面角的平面角.在 BDE 中，BEDE，由余弦定理，得 cos-26 31二面角 BACD 的大小是 -arccos.31评析评析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形 算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式 SScos 求得.来源:Zxxk.Com278.278. 如图所示，在三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，ABBC，DE 垂直平分 SC，且分别 交 AC、SC 于 D、E.又 SAAB，SBSC.求以 BD 为棱，以 BDE 与 BDC 为面的二 面角的度数.解法一：解法一：由于 SBBC，且 E 是 SC 中点，因此 BE 是等腰三角形 SBC 的底边 SC 的中线，所以 SCBE.又已知 SCDE，BEDEE，SC平面 BDE，SCBD，又SA底面 ABC，BD 在底面 ABC 上，SABD.而 SASCS，所以 BD平面 SAC.DE平面 SAC平面 BDE，DC平面 SAC平面 BDC，BDDE，BDDC.EDC 是所求二面角的平面角.SA底面 ABC，SAAB，SAAC.设 SAa,则 ABa,BCSBa.来源:学科网2又 ABBC，所以 ACa.在 RtSAC 中 tgACS，所以ACS30.来3ACSA 31源:学科网又已知 DESC，所以EDC60，即所求的二面角等于 60.解法二：解法二：由于 SBBC，且 E 是 SC 的中点，因此 BE 是等腰 SBC 的底边 SC 的中线，所以 SCBE.又已知 SCDE，BEDEE.SC平面 BDE，SCBD.来源:学科网 ZXXK由于 SA底面 ABC，且 A 是垂足，所以，AC 是 SC 在平面 ABC 上的射影，由三垂线定理的 逆定理得 BDAC；又 ESC，AC 是 SC 在平面内的射影，所以 E 在平面 ABC 内的射影在 AC 上，由于 DAC，所以 DE 在平面 ABC 内的射影在 AC 上，根据三垂线定理得 BDDE.DE平面 BDE，DC平面 BDC.EDC 是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.来源:学 _科_网279.279. 在直三棱柱 ABCABC中，BAC90，ABBB1，直线 BC 与平面 ABC 成 30的角.(如图所示)(1)求点 C到平面 ABC 的距离；(2)求二面角 BBCA 的余弦值.解析：解析：(1)ABCABC是直三棱柱，ACAC，AC平面 ABC，AC平面 ABC，于是 C到平面 ABC 的距离等于点 A到平面 ABC 的距离，作 AMAB于 M.由 AC平面 ABA得平面 ABC平面 ABA，AM平面 ABC，AM 的长是 A到平面 ABC 的距离.ABBB1，BCB30，BC2，BC，AB，AM.即 C到平面 ABC 的距离32AAAABA 22为；来源:Zxxk.Com22(2)作 ANBC 于 N，则 AN平面 BBCC，作 NQBC 于 Q，则 AQBC，AQN 是所求二面角的平面角，AN，AQ1.sinAQNBCACAB 36 CBBAAC AQAN,cosAQN.36 33说明说明 利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，ABBB1，AB，又BCB30，2BC,BC2,AC.作 AMBC 于 M，BNBC 于 N，则32AM1，BN，23CN，CM1，MN.BNBC,AMBC，BN 与 AM 所成的角等于二面角 B23 21BCA 的平面角.设为 .由 AB2AM2+BN2+MN2-2AMBNcos 得 cos.31 33280280 如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的菱形，A60，PC平面 ABCD，PCa,E 是 PA 的中点.(1)求证平面 BDE平面 ABCD.(2)求点 E 到平面 PBC 的距离.(3)求二面角 AEBD 的平面 角大小.解析：解析：(1)设 O 是 AC，BD 的交点，连结 EO.ABCD 是菱形，O 是 AC、BD 的中点，E 是 PA 的中点，EOPC，又 PC平面 ABCD，来源:学_科_网 Z_X_X_KEO平面 ABCD，EO平面 BDE，平面 BDE平面 ABCD.(2)EOPC，PC平面 PBC，EO平面 PBC，于是点 O 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离.作 OFBC 于 F，EO平面 ABCD，EOPC，PC平面 PBC，平面 PBC平面 ABCD，于是 OF平面 PBC，OF 的长等于 O 到平面 PBC 的距离.来源:Zxxk.Com由条件可知，OB,OFa，则点 E 到平面 PBC 的距离为a.2a 2a 23 43 43(3)过 O 作 OGEB 于 G，连接 AG OEAC，BDAC AC平面 BDEAGEB(三垂线定理) AGO 是二面角 AEBD 的平面角OEPCa,OBa EBa.OGa 又 AOa.21 21 23 EBOBOE 43 21tanAGOAGOarctan.OGAO 332 332评析评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法， 三垂线定理及逆定理的应用.