九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页1九年级上期北师大版数学典型例题选集一、三角形内切矩形问题 如图：ABC 内的有一个矩形 DEGF。D 点在 AB 上，E 点在 AC 上， F 点和 G 点在 BC 上，AH 是 BC 边上的高。AH 交 DE 于点 I。 （1）如果 BC=a，AH=h，DE=x，EG=y。写出 a、h、x、y 之间的关系 （2）如果 BC=20，AH=24，矩形 DEGF 的面积是 30。求矩形的长和 宽各是多少？ （3）如果 BC=20，AH=24，四边形 DEGF 是正方形， 求这个正方形的边长。 （4）如果 BC=20，AH=24，矩形 DEGH 的面积为 S，DE=x， 写出 S 和 x 之间的函数关系，并判断当 DE 等于多少时矩形 DEGF 的面积最大？二、矩形的对折问题 (关键是打直角三角形，用勾股定理) （1）已知四边形 ABCD 是矩形。AB=6，BC=10。将 AD 沿 AE 对折，点 D 正好落在 BC 边点 F 上。求： CE 的长 DE 的长 折痕 AE 的长 CFE 的面积 （2）已知四边形 ABCD 是矩形。AB=6，BC=10。将 AB 沿 AE 对折，点 B 正好落在对角线 AC 边点 F 上。求： CE 的长 BE 的长 折痕 AE 的长 CFE 的面积 ABCEDFHGI此题包含了以下知识： 1、 相似（列比例式） 2、 分式的计算（整理比例式） 3、 一元二次方程 4、 配方法求极值。 其中相似是基础，分式的计算是 关键，难点是函数思想。提高是 用配方法来求函数的极值。题目点评：数形结合ADCBEFAEBCDF九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页2（3）已知四边形 ABCD 是矩形。AB=6，BC=10。将 BC 沿 BD 对折， 点 C 正好落在 E 点 F 上。PF 是BDF 边 BD 上的高。 求： EF 的长 DF 的长 PF 的长 BDF 的面积。（4）已知四边形 ABCD 是矩形。AB=6，BC=10。将 BD 对折， 点 B 正好落在点 D 上,A 点落在 E 点上。求： EF 的长 BE 的长 折痕 FG 的长 四边形 BGDF 是什么图形? (注意体会与上图的联系)三、商品的涨跌与销售问题 例题：新华商场销售某种冰箱。每台进货价为 2500 元。市场调研表明：当销售价为 2900 元时， 平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多卖 4 台。商场要想使这种 冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？四、动点变化与方程（或函数）问题 （1）坐标轴内的动点问题 如图：直角坐标内有三点 A（a,0） ，B（0，a） ， C（a+4，2） ，且三角形 ABC 的面积为 24。求 a 的值。AFEBCDP分析： （1）每台冰箱赚多少元？现定价（不是 2900 元）成 本 （2）每台冰箱降多少元？(2900现价) （3）降价后现在售出多少台？(8 台+增加的台数) （4）怎样列出方程？1 台赚的钱卖出台数=8000 元 （5）怎样设计算最简便（可设现定价，也可设降价） （6）选哪种方法解方程最简单（配方法） （7）方程的根要检验是否合题意。GAFEBCDP(a+4， 4)(0，a)(a，0)ABCyxo九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页3（2）图形中的动点问题（关键是用含用未知数的代数式表示相关线段） 如图：矩形 ABCD 中 AB=12cm，BC=20cm。 AD 边上有一动点，从 A 到 D，每秒移动 2cm， BC 边上有一动点，从 C 到 B，每秒移动 3cm。 （1）几秒时 PO 距离为 10cm？ （2）几秒时梯形 ABQP 的面积为 100cm2 ？ （3）几秒时，梯形 ABQP 的面积等于梯 形 CQPD 的面积？五、求代数式的值问题 （1）根据已知条件求代数式的值已知：的一个根为，010200422xxa求的值。 55010100122aaa已知：，求的值。3522 xx9632 xx已知：，求：的值。03412x32226422xxx（2）用配方法求代数式的极值（最大值与最小值） 说明不论 x 取何实数，代数式的值742 xx总大于 3。说明不论 x 取何实数，代数式的5432 xx值总大于。319这类题，如果用方程求出 x 的值， 然后再代入求值，计算难度相当 大，往往计算出错。最好的办法 采取整体代入法。代入一个式子 来计算。如题代入510022aa题代入822 xx题代入3412x小结：整体代入法PQABCD配方法求二次三项式的极值： 关键看二次项和一次项。 配一次项系数一半的平方，注意 加上一次项系数一半的平方后立 即在常数项中减下来，这样才不 会改变代数式的结果。九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页4说明不论 x 取何实数，代数式的值总小于 20。18422xx六、投影与三角形问题 （1）平行投影 (关键是相似(直角)三角形的运用 ) 如图 AB 和 CD 两根木杆竖立立在地面上，同一时刻在 阳光下 AB 的影子如图所示，作出 CD 的影子 DF。 同时量得 DE=3.2m，CD=1m，CD 的影子长 80cm 求 AB 的高度。（2）中心投影 （找出图中的相似三角形列出比例式求解） 如图：AB 和 CD 是两根相距 4 米的同样高的标杆， 在灯光 P 下的影子。已知 AB 的影子 BE 长 6 米。 求灯 P 的垂直高度 PQ。七、三类函数综合问题（正比例函数、一次函数、反比例函数）1、如图，正比例函数 (k0)与反比例函数kxy 的图象相交于 A、C 两点，过 A 作 x 轴的垂线xy1交 x 轴于 B，连结 BC，求ABC 面积 S。2、正比例函数与反比例函数的图象相交xyk1xyk2于点 P（a,b） ，a,b 异号且 OP=5，过 P 作 x 轴的垂线 PQ 交 x 轴于 Q，且 SPQO=6（如图）求这两个函数的解析式。ABCDEAPBCDQE九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页5xyABCO3、D 为反比例函数：图象上一点.过 D 作)0(kxky DCy 轴于 C, DEx 轴于 E,一次函数与mxy的图象都过 C 点,与 x 轴分别交于 A、B 两点。233xy若梯形 DCAE 的面积为 4，求 k 的值.4、已知反比例函数与一次函数 y=-x+2 的图象交于xy8A、B 两点， 求：(1)A、B 两点的坐标；(2)AOB 的面积。5、如图所示，一次函数的图像与反比例函数bkxy的图像交于 M、N 两点。xky （1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图像写出使反比例函数的值大于 一次函数的值的 x 的取值范围6、如图，已知反比例函数的图象经过点 A(0)kykx，过点 A 作 ABx 轴于点 B，且AOB 的面积为。(3)m，3(1) 求 k 和 m 的值；(2)若一次函数的图象经过点 A，并且与 x 轴相1yax(3)交于点 C，求ACO 的度数和的值。AO : ACyxEDCB AOOyxABM(2,m)N (1,4)xy九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页6八、韦达定理和根的判别式1、方程 的两个根分别为 和 ,求：7522xx1x2 xx21xx21xx2122xx2122 | |= xx21xx2133xx2144xx21112、 已知方程 的一个根是 1，求 另一根与K的值。032 kxx3、已知 a、b、c 为三角形三边长，且方程有两个相等的实数0) 1(2) 1(22xxcaxb根. 试判断此三角形形状，说明理由.小结： （1）对称 反比例函数关于原点对称，反比例函数与正比例函数的交点也关于原点对称。 （2）代入 一点代入法：正、反比例函数只代入一点就可以求出解析式； 两点代入法：一次函数需要代入两点才可以求出解析式。 （3）求 k 值反比例函数的；正比例函数的（注意符号与象限） ；一次函数可平移成正xyk xyk 比例函数来求 k 值。 （4）函数与方程组 求两个函数的交点，就是解这两个函数组成的方程组。 （5）函数与面积 图象中关键点的横坐标和纵坐标就是图形的高。注意：反比例函数的 K 值就是矩形面积。 不好直接求的三角形可分成几个小三角形来求解。九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页14、若一元二次方程 的两根之比为2：3，那么a、b、c间有怎样的关)0(02acbxax系?