- 1 - 第六章第六章 鞅与停时鞅与停时 鞅 （Martingale） 论目前已成为研究概率论以及应用概率论和其他随机过程的有力工具， 在金融、保险等领域均得到广泛的应用。 我们首先讨论离散鞅，即以离散时间n为参数；有关连续鞅将在本章最后一节中讨论。 因此，本章中如有特别说明，涉及的鞅均指离散鞅。 6.1 离散鞅的定义离散鞅的定义 定义定义6.1 鞅鞅：随机过程,0nXn是鞅，如果0n 有 （1）()nE X； （2）101(,), . .nnnE XXXXXas 鞅是公平赌博的一种推广。 假设我们把nX解释为第n次赌博后的赌资， 则根据定义 6.1,第1n次赌博后的平均赌资恰好等于nX，无论之前发生怎样的情况，即每次赌博胜负机会均等。 对（2）式两边取期望得 1()()nnE XE X 因此，对一切的n有 0()()nE XE X 这说明鞅在任何时刻的期望值均相等。这里可把0X解释为初始赌资。 有时,0nXn不能直接观察，而只能观察另一过程 ,0nY n，故做如下定义： 定义定义6.2 设有两个随机过程,0nXn和 ,0nY n， 称 ,0 nXn关于 ,0nY n是鞅，如果 （1）()nE X； （2）101(,), . .nnnE XY YYXas 下面介绍一些鞅的典型例子。 例例6.1（独立同分布变量之和）（独立同分布变量之和） 设00Y ， ,1nY n服从独立同分布，且()0,()nnE YE Y；0 10,nni iXXY，则,0nXn关于 ,0nY n是鞅。 - 2 - 例例6.2（ 独 立 同 分 布 变 量 之 积 ）（ 独 立 同 分 布 变 量 之 积 ）设01Y ， ,1nY n服 从 独 立 同 分 布 ， 且()1, ()nnE YE Y；0 11,nni iXXY，则,0nXn关于 ,0nY n是鞅。 以上两例请同学们自证。 例例6.3 和的方差和的方差： 设00Y ， ,1nY n服从独立同分布， 且22()0, () nnE YE Y；22 0 10,()nni iXXYn，则,0nXn关于 ,0nY n是鞅。 证：因为 2222112221()()() )()2 innnii iinij iijE XEYnEYnEYYYnn 所以 11122 101101 1222 101 112222 0110101 112 1(,)()(1),(2() )(1),(,)2 (,)(),()2 (nnnnnnnin innniin iinnnninin iinE XY YYE YYnY YYE YYYYnY YYE YY YYE YY Y YYEYnY YYE YE Y 2 0101 122,)()(,)0nninn innY YYYE X Y YYXX注：综合例 6.1 至例 6.3，可把其中的独立同分布序列推广到一般随机序列，即设 ,0nY n为一随机序列，0(,)iiiZg YY，ig为一般函数； 函数f满足()kE f Z，01(,),0kkayyk为k元有界实函数，即0101(,),kkkkayyAyy，且约定010010(), () ()a Ya E f ZYE f Z，令 011011 0 () (),(,)nnkkkkk kXf ZE f ZY YYaY YY 可以验证,0nXn关于 ,0nY n是鞅。 例例6.4 由马尔可夫链导出的鞅由马尔可夫链导出的鞅：设 ,0 nY n是马尔可夫链，其状态空间为S，具有转- 3 - 移矩阵ijPp，f是P的有界右正则序列（调和函数） ，即( )0f i 且 ( )( ),( ),ij j Sf ip f jf jM iS令()nnXf Y，则,0nXn关于 ,0nY n是鞅。 证：因为 ()nE X 所以 10110111,(,)( (),)( ()( ) ( )()nnnnnnYnnnn j SYj j SnnE XY YYE f YY YYE f YYf j P Yj Yf j pf YX 的马尔可夫性因此，,0nXn关于 ,0nY n是鞅。 例例6.5 由转移概率特征向量导出的鞅由转移概率特征向量导出的鞅：设 ,0nY n是马尔可夫链，其状态空间为S，具有转移矩阵ijPp，向量( (0), (1),)fff称为P的右特征向量，如果对某个特征值有 ( )( ),ij j Sf ip f jiS 且(),nE f Yn 。令()n nnXf Y，则,0nXn关于 ,0nY n是鞅。 证：因为 ()()nn nnnE XEf YE f Y 1 1011011 11 ,(,)(,) () ( )()nn nnnnn nnn Yj j Sn nnE XY YYEf YY YYE f Y Yf j pf YX 更一般地，设 ,0nY n是一离散时间马尔可夫过程，具有转移分布函数 1()nnF y zP Yy Yz - 4 - 如果对所有的n，有()nE f Y且 ( )( )()f yf z dF z y 则称(),0n nnXf Yn是一个鞅。 例 6.4 和例 6.5 将马尔可夫链与鞅这两个重要的随机过程有机地联系起来，在今后的实 际研究中应用广泛。 例例6.6 波利亚（波利亚（Polya）坛子抽样模型）坛子抽样模型：考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初 坛子中装有红黄两色各一个球，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果拿出的是红球，则放回的同时再加一个同色的球；如果拿出的是黄色的球也采取同样的做法。以nY第n次抽取后坛子中的红球数，则01Y ，nY是一个非时齐的马尔可夫链，转移概率为 1112 22nnnnkP YkYkn nkP Yk Ykn 令nX表示第n次抽取后红球所占的比例，则2n nYXn，且nX是一个鞅。因为 1()2n nnnYE YYYn因为nY是一个马尔可夫链，即12( ,)nnFY YY中对1nY有影响的信息都包含在nY中，所以 1 111()()()12 11()()3322n nnnnnnn nnnnYE XFE XYEYn YYE YYYXnnnn 6.2 上鞅（下鞅）及分解定理上鞅（下鞅）及分解定理 定义定义6.3 设,0nXn和 ,0nY n是随机过程，称,0nXn关于 ,0nY n是一个上鞅，如果 （1）()nE X ，其中min( ,0)xx； （2）101(,)nnnE XY YYX； （3）nX是01,nY YY的函数。 定义定义6.4 设,0nXn和 ,0nY n是随机过程， 称,0nXn关于 ,0nY n是一个- 5 - 下鞅，如果 （1）()nE X，其中max( ,0)xx； （2）101(,)nnnE XY YYX； （3）nX是01,nY YY的函数。 与鞅由公平赌博得来不同，上鞅（下鞅）可由不公平赌博来解释，由定义 6.3 和定义 6.4 可得： 对于上鞅，有10()()()nnE XE XE X，因此上鞅是一种下偏的赌博； 对于下鞅，有10()()()nnE XE XE X，因此下鞅是一种上偏的赌博。 为后面讲述方便，我们需要引入 Jensen 不等式。 设( )f x为凸函数，即对12,01x x有 1212( )(1) ()(1)f xf xfxx 进一步推广，设1,1,2, ,01,1niii ixin，有 11( )()nniiii iif xfx即 ( ()( ()E f Xf E X 0101( (),)( (,)nnE f X Y YYf E X Y YY 此即为 Jensen 不等式。 引理引理6.1 （条件）（条件）Jensen不等式不等式：若( )f x为凸函数，且假定其期望存在，则有 Jensen 不等式：( ()( ()E f Xf E X 条件 Jensen 不等式：0101( (),)( (,)nnE f X Y YYf E X Y YY 上（下）鞅的基本性质上（下）鞅的基本性质： 1、若,0nXn关于 ,0nY n是（上）鞅，则 01(,)( ),0n knnE XY YYXk 2、若,0nXn是（上）鞅，则对0kn，有 - 6 - 0()( )()( )()nkE XE XE X 3、若,0nXn关于 ,0nY n是（上）鞅，g是关于01,nY YY的（非负）函数，则 010101 ( ,),( ,),0nn knnnE g Y YY XY YYg Y YY Xk 性质 1 的证明：用数学归纳法证明，仅证上鞅时的情形，当为鞅时，将改为即可。 当0k 时，不等式显然成立； 当1k ，由定义 6.3 可知不等式成立； 当2k 时，设01(,)n knnE XY YYX成立，现证101(,)n knnE XY YYX 也成立。 1011010101(,)( (,),)(,)n knn knnn knnE XY YYE E XY YYY YYE XY YYX 因此，对于0k ，不等式均成立。 性质 2 的证明：利用性质 1 有01(,)( )nkkE X Y YYX ，故 01()( (,)( )()nnkkE XE E X Y YYE X 类似地可证0()( )()kE XE X 。 性质 3 的证明：因为g是关于01,nY YY的（非负）函数，因此 0101010101 (,),(,) (,)( )(,)nn knnn knnnE g Y YY XY YYg Y YY E XY YYg Y YY X 实际中我们常常把上鞅和下鞅分解成鞅来处理， 鞅的分解定理是鞅论中的基本定理之一。 定理定理6.1 分解定理分解定理：对于任意一个,1nXn关于 ,1nY n是下鞅，必存在随机过程,1nMn和,1nZ n，使得 （1）,1nMn关于 ,1nY n是鞅； （2）nZ是11,2nYYn的函数，且110, ()nnnZZZE Z； （3）,1nnnXMZ n。 且上述分解是唯一的。 证明：先证存在性。令10Z ，000MX，及 - 7 - 111 1111 1(,),1,(,),2nnnkkk knnnnkkk kMXE XXYYnZXME XXYYn 因为,1nXn关于 ,1nY n是下鞅，因此 1111111(