数学高考综合能力题选讲数学高考综合能力题选讲 15立体几何中的有关证明题型预测题型预测立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。三垂线定理及其逆定理是重点考查的 内容。范例选讲范例选讲例例 1 1 已知斜三棱柱 ABC-ABC的底面 是直角三角形，C=90，侧棱与底面所成的 角为 （090），B在底面上的射影 D 落在 BC 上。 （1）求证：AC面 BBCC。 （2）当 为何值时，ABBC，且使得 D 恰为 BC 的中点。讲解讲解：（1） BD面 ABC，AC面 ABC， BDAC，又 ACBC，BCBD=D， AC面 BBCC。（2）由三垂线定理知道：要使 ABBC，需且只需 AB在面 BBCC 内 的射影 BCBC。即四边形 BBCC 为菱形。此时，BC=BB。 因为 BD面 ABC，所以，就是侧棱 BB 与底面 ABC 所成的角。BDB 由 D 恰好落在 BC 上，且为 BC 的中点，所以，此时=。BDB60 即当 =时，ABBC，且使得 D 恰为 BC 的中点。60例例 2 2 如图：已知四棱锥 中，底面四边形为正方形，侧ABCDP 面 PDC 为正三角形，且平面 PDC底面 ABCD，E 为 PC 中点。 （1）求证：平面 EDB平面 PBC； （2）求二面角的平面角的CDEB 正切值。ABDCPE : AD讲解讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过 另一个平面的一条垂线。 首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面 PDC 为正三角形，所以，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，PCDE PBCDE面证明它并不是一件困难的事情。 面 PDC底面 ABCD，交线为 DC， DE 在平面 ABCD 内的射影就是 DC。 在正方形 ABCD 中，DCCB， DECB。又，CBCPCPBCBCPC面, DE。PBC面又面 EDB，DE 平面 EDB平面 PBC。（2）由（1）的证明可知：DE。所以，就是二面角PBC面BEC的平面角。CDEB 面 PDC底面 ABCD，交线为 DC， 又平面 ABCD 内的直线 CB DC。 CB面 PDC。 又面 PDC，PC CBPC。在 Rt中，。ECB2tanCEBCBEC点评点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂 面同时垂直于二面角的两个半平面。例例 3 3如图：在四棱锥中，ABCDS 平面，SAABCD2ADCBAD，为的中点。aADAB2aCD ESB （1）求证：平面；/CESAD （2）当点到平面的距离为多少时，ESCD 平面与平面所成的二面角为？SBCSAD45讲解讲解：题目中涉及到平面与平面SBC 所成的二面角，所以，应作出这两个平SAD 面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要 证平面，应该设法证明 CE 平行于/CESAD 面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出SADS的二面角的棱正好符合要求。 （1）延长 BC、AD 交于点 F。 在中，FAB，所以，2ADCBADAB、CD 都与 AF 垂直，所以， CD/AB，所以，。又CDFBAF ，所以，点 D、CaAB2aCD 分别为线段 AF、BF 的中点。 又因为为的中点，所以，ECESB 为的中位线，所以，EC/SF。SBC又，SADEC面SADSF面所以，平面。/CESAD （2）因为：平面，AB平面，所以，AB。又 ABSAABCDABCDSA AF，所以，AB面。ASAAFSAF 过 A 作 AHSF 于 H，连 BH，则 BHSF，所以，就是平面与BHASBC 平面所成的二面角的平面角。SAD 在 Rt中，要使=，需且只需 AH=AB=。BHABHA45a2此时，在SAF 中，所以， aaaSA AFAHSFSA42422。aSA334在三棱锥 S-ACD 中，设点 A 到面 SCD 的距离为 h，则h=a ADSASAAD SDSAAD CDSDSADCADSSASSCDACD 4142222 因为 AB/DC，所以，AB/面 SCD。所以，点 A、B 到面 SCD 的距离相等。 又因为 E 为 SB 中点，所以，点 E 到平面 SCD 的距离就等于点 B 到面 SCD 距离的一半，即。814 2h点评点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等 价转化，在转化的过程中不断探求结论。高考真题高考真题1（2002 年北京高考）如图：在多面体中，上、下底面1111DCBAABCD DBASECFH平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 E、F 两点，上下底面矩形的长、宽分别为与，且，dc、ba、dbca ,两底面间的距离为。h（1）求侧面与底面所成二面角的大小；11AABBABCD（2）证明：ABCDEF面/（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式来计算。hSV中截面估已知它的体积公式是。下底面中截面上底面SSShV46试判断与的大小关系，并加以估VV证明。 （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）2.(1997 年全国高考)如图,在正方体中,E,F 分别是的1111DCBAABCD CDBB ,1中点.证明 AD; FD1.求 AE 与所成的角; FD1.证明面 AED面;11FDA.设2,求三棱锥的体积1AA11EDAF 11EDAFV答案与提示：1. （1）；（3）。 2. （2）90； （4）dbh 2arctanVV估=1。 11EDAFVABDCA1D1C1B1EFabcdD CABA1B1D1C1FE