不等式习题课例 1.（1）平面区域 D 由约束条件确定：2x3y50，x2y80，y1， 若 z3x4y，则 z 的最大值是_，最小值是_当 zx y 时，则 z 的最大值是_，最小值是_22（2）不等式|1x3|3x2|)1(的解集_；不等式12x7x31x4x)2(22 的解集_。（3）设，则函数的最小值是1x1) 3)(2( xxxy_. 6 .（4）已知不等式0322 xx的解集为 A，不等式062 xx的解集是 B，若不等式02baxx的解集是BA，则a=_，b=_。 21 ba（5）不等式03) 1(4)54(22xmxmm对一切实数 x 恒成立，则实数m的取值范围_。 )19, 1 (6)如果方程02) 1(22mxmx的两个不等实根均大于 1，则实数 m 的取值范围_。23721m（7）变量 x、y 满足条件102553034xyxyx，设xyz ，则 z的最小值为_，最大值为_。解：作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如上图所示当把 z 看作常数时，它表示直线zxy 的斜率，因此，当直线zxy 过点 A 时，z 最大；当直线zxy 过点 B 时，z最小由 102553xyx，得点)522, 1 (A，由， 02553034yxyx得点 B（5，2） maxz522 1522，52minz例 2.解关于x的不等式)0( 12) 1(axxa解：02)2() 1(, 12 xaxa xaax1212, 2,1212121aa aaxxxaaxa则时，设00 原不等式化为)12, 2(, 0)12()2(aaxaaxxa1 时原不等式化为), 2(, 021xxa1 时，x1x20，原不等式化为：), 2()12,(0)2)(12(aaxxaax例 3.（1）已知zyx,为正数， （1）若191yx，求yx2的最小值；解：（1） 191yx26199221992181)91)(2(2yxxyyxxyyxyxyx当且仅当yx xy92时，上式取等号，所以yx2的最小值为2619（2）若2zyx，求证：29111zyx。（2）)(111(21111zyxzyxzyx29222321)()()(321zx xz yz zy yx xy（3）) 8(1|ab1ba:|1|b|1|a:|.2，求证，已知（4）a，bR，求证：a2+b2ab+a+b1。解题思路分析：思路一： a2+b2abab+1a2（b+1）a+b2b+143b23b43)21ba (2222) 1b(43)21ba (0思路二：因 a2+b22ab，a2+12a， b2+12b三式同向相加得：a2+b2ab+a+b1思路三：。记 f（a）. a2（b+1）a+b2b+1因二次项系数为正，（b+1）24（b2b+1）3（b1）20 f(a). 0例 4.某客运公司买了每辆a2万元的大客车投入运营，根据调查得知，每辆客车每年客运收入约为a万元，且每辆客车第n年的油料费，维修费及其他各种管理费用总和)(nP（万元）与年数n成正比，又知第 3 年每辆客车上述费用是该年客运收入的 48%。（1）写出每辆客车运营的总利润 y（万元）与 n 的函数表达式；（2）每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？解：（1）根据第 n 年的各种费用总和 P（n）与年数 n 成正比，设P（n）=kn，k 为常数 第 3 年费用是该年客运收入的 48%，则 ka348. 0 ak16. 0，得annP16. 0)( 运营的总利润aanananaany292. 008. 02)21 (16. 02L*Nn（2）运营的年平均利润为anaananaanny92. 0208. 0292. 0208. 0aaa12. 092. 08 . 0当且仅当naan208. 0时成立，*Nn，即 5n时取等号 运营 5 年可使其运营的年平均利润最大且最大值为a12. 0例 5.一条直线 l 经过点 P（1，4），分别交 x 轴、y 轴正半轴于A、B，O 为坐标原点，求AOB 面积的最小值及此时的直线 l 的方程。08yx4:即答：AOB 面积的最小值为 8