两个广义积分收敛判定法则之前已经介绍过了第二积分中值定理的证明，该定理的形式比较复杂，很难让人联想起怎么应用，然而第二积分中值定理确是一个比较精细的判定积分性质的方法，这里就给出两个利用第二积分中值定理来证明的广义积分收敛判定法则。法则一法则一：设函数单调，且，函数当( )xlim ( )0 xx ( )f x时，有界，此时，积分收敛。x ( )( )xaF xf u du( ) ( ) af xx dx证明：设，利用第二积分中值定理得：12abb 2211121122( ) ( )(0)( )(0)( )(0) ( )( )(0) ()( )bbbbf xx dxbf x dxbf x dxbFF bbF bF当，时，有，且10b 20b 1(0)0b2(0)0b有界，因此，再有柯西（Cauchy）积( )F x21( ) ( )0bbf xx dx分准则可知：收敛。( ) ( ) af xx dx从上面的证明可以看出，第二积分中值定理给出了积分上下界在趋于无穷的过程中积分的性质，并由此判定广义积分收敛。下面看一个例子：证明积分收敛。 1sinxdxx令，显然，1( )xxlim ( )0 xx ( )sin( )f xx有界，根据上面的判定法则，可知：积分 1( )sinF xxdx收敛。但却不是绝对收敛的，因为： 1sinxdxx1sinxdxx211111sin|sin|sin|1cos211cos2 22xxxdxdxdxxxx xxdxdxxxx其中，收敛，证明同证收敛，而 1cos2xdxx1sinxdxx发散，因此发散，条件收敛。 11dxx1sin|xdxx1sinxdxx法则二法则二：设函数单调且有界，由函数的收( )x( )( )xaF xf u du敛性可以得出：收敛。( ) ( ) af xx dx可以理解为，一个广义积分收敛的函数与一个单调有界函数相乘后，所得函数仍然的冠以积分仍然收敛。如，积分sin( )xf xx( )arctanxx收敛。 1sin arctanxxdxx