第第 74、75 讲讲44 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间教学目的和要求教学目的和要求 1 掌握双线性函数的定义及其矩阵表示法，理解双线性函数非退化性与 其度量矩阵的非退化性的等价性； 2 掌握对称双线性函数的定义及其标准形； 3 了解反对称双线性函数的定义及其标准形。 重重 点点 双线性函数及其矩阵表示，对称双线性函数及其标准形。 难难 点点 反对称双线性函数及其标准形。教教 学学 过过 程程定义定义 3 3 设是数域上的线性空间，上一个取值于的二元函数称为双线VPVP(),fa b性函数，如果它满足下列性质：1）；()()()11221122,fkkk fk fabba ba b+=+2）.()()()11221122,f kkk fk faaba bab+=+其中是中任意向量，是中任意数。1212, ,a a ab b bV12,k kP例例 1 1 欧氏空间中向量的内积是双线性函数。例例 2 2 设，则（）是上一个双线性函数。* 12,ffV()( )( )12,fffa bab=,Va b“V例例 3 3 设，则是上一个双线性函数。n nAP()(),nf X YX AY X YP=nP设是上任一个维线性空间，是是一组基，是上任一个双线性VPn12,ne eeLVfV函数，则对中任意两个向量 有V()()1212,nnXYae eebe ee=LL.()()1111,nnnniijjijij ijijffxyfx yX AYa beee e= 这就是双线性函数的矩阵表示形式。其中.()()() ()()()()()()111212122212, ,nnnnnnfff fffAfffe ee ee e e ee ee ee ee ee e=L L MMM L定义定义 4 4 我们称为空间上双线性函数在基下的度()(),ijnnAfe e=V(),fa b12,ne eeL量矩阵。显然是被和唯一确定的。若都是上的双线性泛函，它们在基Af12,ne eeL, f gV下的度量矩阵都是，则有12,ne eeLA()()1212,nnXYVae eebe ee“=LL，即.()(),fX AYga ba b=fg=反之，任给一个级矩阵n，111212122212nnnnnnaaa aaaAaaa=L L MMM L对中任意两个向量 定义V()()1212,nnXYae eebe ee=LL，()11,nnijij ijfX AYa x ya b= 就得到上一个双线性函数。而且，即在下的度量矩V(),1 1ijijijfaae e= =f12,ne eeL阵就是.A结论结论 1 1 数域上线性空间上的双线性函数全体与有一个双射。PVn nP给定上一个双线性函数以后，下面我们来看它在两组基和Vf12,ne eeL下的矩阵和的关系。设12,nh hhLAB，()()1212,nnCh hhe ee=LL，()()121211,nXXae eeh hh=LL，()()12121,nnYYbe eeh hh=LL则，于是11,XCXYCY=，()()()()1111,fX AYCXA CYXC AC Ya b=. 所以.()11,fX BYa b=BC AC=结论结论 2 2 同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。定义定义 5 5 设是上一个双线性函数，如果从有可以推出(),fa bVVb“(),0fa b=0a= ，就称是非退化的。f非退化与它在基下的度量矩阵非退化是否有直接关系呢？有！请看下f12,ne eeLA 面：设使有，则有()12,nXVae ee=L()12,nYVbe ee“=L(),0fa b=nYP“，取的第 个分量为 ，其余分量为就得到的第 个分量为，所以0X AY=Yi10X A i0.X AOA XO=在此基础上，我们有：非退化方程组只有零解可逆，即非退化。f0XOa=A XO =A结论结论 3 3 双线性函数非退化的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵非退化。定义定义 6 6 线性空间上的双线性函数称为对称（反对称）双线性函数，如果V(),fa b有.,Va b“()()()()(),ffffa bb aa bb a= -因为在基下的矩阵()(),ijnnAfe e=，所以当对称时，也对称。反f12,ne eeLfA过来，若对称，则.A()(),fX AYY AXfa bb a=对反对称双线性函数也有类似的结论。结论结论 4 4 双线性函数是对称（反对称）的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称 （反对称）矩阵。定理定理 5 5 设是维线性空间上一个对称双线性函数，则存在的一组基(),fa bnVV使在其下的度量矩阵是对角矩阵。12,ne eeL(),fa b证法证法 1 1 只要证明可以找到的一组基使当时，则在V12,ne eeLij(),0ijfe e=f这组基下的矩阵()(),ijnnAfe e=就是对角矩阵。第一种情况：若,Va b“有，则，定理成立。(),0fa b=()(),ijnnAfOe e=第二种情况：若的值不全为，则存在某个使，否则，(),fa b01Ve()11,0fe e有，导致矛盾。下面对,Va b“()()()()()1,02ffffa bab aba ab b=+-=的维数作数学归纳法，证明定理成立：V当时，刚才找到的1e就是的基，在其下的矩阵是对角形。011n=Vf()()11,Afe e=假定当时，定理已证。02nk=当时，将扩充成的一组基，令1nk=+1eV121,ke hh+L，则，.() ()1 1 11,i iiffe hehee e=-()1,0ife e =2,1ik=+L显然向量组与向量组等价，因而也是的基，于是121,ke ee+L121,ke hh+LV，且有.( )()121,kVLLeee+=L()21,kLaee+“L()1,0fe a=将看成是上的双线性函数，由归纳假设，存在一组基使f()21,kLee+L21,kee+L.(),0,2,1,ijfi jkije e=+L因此可以找到的一组基使当时. V121,ke ee+Lij(),0ijfe e=1010、1111、12.12.422P（定理（定理 5 5 设是维线性空间上一个对称双线性函数，则存在的一组基(),fa bnVV使在其下的度量矩阵是对角矩阵。 ）12,ne eeL(),fa b证法证法 2 2 设是的一组基，(),fa b在其下的矩阵是，则是对称矩阵，12,na aaLVAA因此，存在可逆矩阵使成对角形。令CC ACB=，()()1212,nnCe eea aa=LL则也是的一组基，在其下的矩阵是. 12,ne eeLV(),fa bB若f在基下的矩阵，则当12,ne eeL()12,nBdiag d dd=L和时有()12,nXVae ee=L()12,nYVbe ee=L.()111222,nnnfX BYd x yd x yd x ya b=+L称为的标准形。特别地，取为的规范形就得到的规范形，即定理 5 的两个推论：fBAf推论推论 1 1 设是复数域上的维线性空间，是上的对称双线性函数，则存在Vn(),fa bV的一组基使V12,ne eeL有1 1221 122,nnnnxxxVyyyVaeeebeee“=+=+LL. ()1122,rrfx yx yx ya b=+L()0rn推论推论 2 2 设是实数域上的维线性空间，是上的对称双线性函数，则存在Vn(),fa bV的一组基使V12,ne eeL有1 1221 122,nnnnxxxVyyyVaeeebeee“=+=+LL. ()1111,pppprrfx yx yxyx ya b+=+-LL()0prn定义定义 7 7 设是数域上线性空间，(),fa b是上的双线性函数，我们称VPV（1）()11,nnijij ijfX AXa x xa a= 为与(),fa b对应的二次型。其中是(),fa b在一组基下的度量矩阵。A12,ne eeL注意，不一定是二次型的矩阵，除非(),fa b是对称双线性函数。当( )ijnnAa=不对称时，令，则就成为二次型（1）的矩阵了。(),fa b()1 2ijijjibaa=+( )ijnnBb=下面讨论反对称双线性函数的标准形。定理定理 6 6 设是维线性空间上的反对称双线性函数，则存在的一组基，(),fa bnVV11,e e-，1,shhL使L,rre e-（2）() () (),1,1, ,0,0 ,1,0,iiijkfir fij V ksfe e e e aa h=+=LL证明证明 若，取任一组基为，定理成立。(),0fa b1,shhL若(),fa b不是零函数，因为(),fa b在任一组基下的度量矩阵是非零反对称矩阵，A所以必有其中两个基向量使，令，则.1,Ve b()1,0fe b()1 11 ,febe b-=()11,1fe e-=将扩充成的一组基，令11,e e-V113,ne ebb-L.()()1111,3,iiiiffinbbb eeb e e-=-+=L则当时3i，()()()()()()11111111,0iiiiffffffb eb eb ee eb eee-=-+=.()()()()()()11111111,0iiiiffffffb eb eb ee eb eee-=-+=显然仍然是的基，于是113,se ebb-LV.()()113,nVLLe ebb-=L将看成是上的双线性函数，若是零函数，到上面这步不(),fa b()3,nLbbL(),fa b定理已证。若不是零函数，同理又可找到的一组基使(),fa b()3,nLbbL225,ne egg-L，.()()22,1,0,5,ijffine eg e-=L1,2j = 依此进行下去就会找到的一组基，1,shhL使（2）式成立。V11,e e-L,rre e-推论推论 1 1 设是上一个反对称双线性函数，则存在的一组基使在其下(),fa bVV(),fa b的度量矩阵具有形式.() ()( )( )0101, 0 , 01010Bdiag=-LL推论推论 2 2 每个反对称矩阵都与一个形如n nAP() ()( )( )0101, 0 , 01010Bdiag=-LL的准对角矩阵合同，称为的规范形。A因为非退代双线性函数在任一组基下的矩阵也是非退化的，所以又有推论推论 3 3 只有在偶数维线性空间上才能定义非退化反对称双线性函数。作业：作业：1414、15.15.423P