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20112011 高考数学知识点高考数学知识点2011 高考数学知识点.txt 人永远不知道谁哪次不经意的跟你说了再见之后就真的再也不见了。一分钟有多长?这要看你是蹲在厕所里面,还是等在厕所外面第一部分 集合1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.2. 集合的性质:任何一个集合是它本身的子集,记为 ;空集是任何集合的子集,记为 ;空集是任何非空集合的真子集;如果 ,同时 ,那么 A = B.如果 .注 Z= 整数() Z =全体整数 ()已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集,则集合 A 也是有限集.()(例:S=N; A= ,则 CsA= 0) 空集的补集是全集. 若集合 A=集合 B,则 CBA = , CAB = CS(CAB)= D ( 注 :CAB = ).3. (x,y)|xy =0,xR,yR坐标轴上的点集.(x,y)|xy0,xR,yR 二、四象限的点集. (x,y)|xy0,xR,yR 一、三象限的点集.注:对方程组解的集合应是点集.例: 解的集合(2,1).点集与数集的交集是 . (例:A =(x,y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则 AB = )4. n 个元素的子集有 2n 个. n 个元素的真子集有 2n 1 个. n 个元素的非空真子集有 2n2 个.5. 一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.例:若 应是真命题.解:逆否:a = 2 且 b = 3,则 a+b = 5,成立,所以此命题为真. .解:逆否:x + y =3 x = 1 或 y = 2.,故 是 的既不是充分,又不是必要条件.小范围推出大范围;大范围推不出小范围.例:若 . 6.De Morgan 公式 CuA CuB = Cu(A B) CuA CuB = Cu(A B)第二部分 函数1. 函数的三要素:定义域,值域,对应法则.2. 函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间,也可能没有单调区间,如果函数在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,2)上为减函数,就不能说函数在 上为减函数.3. 反函数定义:只有满足 ,函数 才有反函数. 例: 无反函数.函数 的反函数记为 ,习惯上记为 . 在同一坐标系,函数 与它的反函数 的图象关于 对称.注:一般地, 的反函数. 是先 的反函数,在左移三个单位. 是先左移三个单位,在 的反函数.4. 单调函数必有反函数,但并非反函数存在时一定是单调的.因此,所有偶函数不存在反函数.如果一个函数有反函数且为奇函数,那么它的反函数也为奇函数.设函数 y = f(x)定义域,值域分别为 X、Y. 如果 y = f(x)在 X 上是增(减)函数,那么反函数 在 Y 上一定是增(减)函数,即互为反函数的两个函数增减性相同. 一般地,如果函数 有反函数,且 ,那么 . 这就是说点( )在函数 图象上,那么点( )在函数 的图象上.5. 指数函数: ( ) ,定义域 R,值域为( ).当 ,指数函数: 在定义域上为增函数;当 ,指数函数: 在定义域上为减函数.当 时, 的 值越大,越靠近 轴;当 时,则相反.6. 对数函数:如果 ( )的 次幂等于 ,就是 ,数 就叫做以 为底的 的对数,记作 ( ,负数和零没有对数) ;其中 叫底数, 叫真数.对数运算:(以上 )注:当 时, .:当 时,取“+” ,当 是偶数时且 时, ,而 ,故取“”.例如: 中 x0 而 中 xR). ( )与 互为反函数.当 时, 的 值越大,越靠近 轴;当 时,则相反.7. 奇函数,偶函数:偶函数: 设( )为偶函数上一点,则( )也是图象上一点.偶函数的判定:两个条件同时满足定义域一定要关于 轴对称,例如: 在 上不是偶函数.满足 ,或 ,若 时, .奇函数: 设( )为奇函数上一点,则( )也是图象上一点.奇函数的判定:两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称,例如: 在 上不是奇函数.满足 ,或 ,若 时, .8. 对称变换:y = f(x) y =f(x) y =f(x) 9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如:已知函数 f(x)= 1+ 的定义域为 A,函数 ff(x)的定义域是 B,则集合 A 与集合 B 之间的关系是 . 解: 的值域是 的定义域 , 的值域 ,故 ,而 A ,故 .11. 常用变换: .证: 证: 12. 熟悉常用函数图象:例: 关于 轴对称. 关于 轴对称.熟悉分式图象:例: 定义域 ,值域 值域 前的系数之比.第三部分 直线和圆一、直线方程.1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与 轴平行或重合时,其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范围是 .注:当 或 时,直线 垂直于 轴,它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地,当直线经过两点 ,即直线在 轴, 轴上的截距分别为 时,直线方程是: .注:若 是一直线的方程,则这条直线的方程是 ,但若 则不是这条线.附:直线系:对于直线的斜截式方程 ,当 均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果 变化时,对应的直线也会变化.当 为定植, 变化时,它们表示过定点(0, )的直线束.当 为定值, 变化时,它们表示一组平行直线.3. 两条直线平行: 两条直线平行的条件是: 和 是两条不重合的直线. 在 和 的斜率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是:对于两条直线 ,它们在 轴上的纵截距是 ,则 ,且 或 的斜率均不存在,即 是平行的必要不充分条件,且 )推论:如果两条直线 的倾斜角为 则 . 两条直线垂直:两条直线垂直的条件:设两条直线 和 的斜率分别为 和 ,则有 这里的前提是 的斜率都存在. ,且 的斜率不存在或 ,且 的斜率不存在. (即 是垂直的充要条件)4. 直线的交角:直线 到 的角(方向角) ;直线 到 的角,是指直线 绕交点依逆时针方向旋转到与 重合时所转动的角 ,它的范围是 ,当 时 .两条相交直线 与 的夹角:两条相交直线 与 的夹角,是指由 与 相交所成的四个角中最小的正角 ,又称为 和 所成的角,它的取值范围是 ,当 ,则有 .5. 过两直线 的交点的直线系方程为参数, 不包括在内)6. 点到直线的距离:点到直线的距离公式:设点 ,直线 到 的距离为 ,则有 .两条平行线间的距离公式:设两条平行直线,它们之间的距离为 ,则有 .7. 关于点对称和关于某直线对称:关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程) ,过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程)可解得所求对称点.注:曲线、直线关于一直线( )对称的解法:y 换 x,x 换 y. 例:曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程.1. 曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线 上的 与一个二元方程 的实数建立了如下关系:曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点 其坐标与方程 的一种关系,曲线上任一点 是方程 的解;反过来,满足方程 的解所对应的点是曲线上的点.注:如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0,那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程:以点 为圆心, 为半径的圆的标准方程是 .特例:圆心在坐标原点,半径为 的圆的方程是: .注:特殊圆的方程:与 轴相切的圆方程 与 轴相切的圆方程 与 轴 轴都相切的圆方程 3. 圆的一般方程: .当 时,方程表示一个圆,其中圆心 ,半径 .当 时,方程表示一个点 .当 时,方程无图形(称虚圆).注:圆的参数方程: ( 为参数).方程 表示圆的充要条件是: 且 且 .圆的直径或方程:已知 (用向量可征).4. 点和圆的位置关系:给定点 及圆 . 在圆 内 在圆 上 在圆 外 5. 直线和圆的位置关系:设圆圆 : ; 直线 : ;圆心 到直线 的距离 . 时, 与 相切;附:若两圆相切,则 相减为公切线方程. 时, 与 相交;附:公共弦方程:设有两个交点,则其公共弦方程为 . 时, 与 相离. 附:若两圆相离,则 相减为圆心 的连线的中与线方程.由代数特征判断:方程组 用代入法,得关于 (或 )的一元二次方程,其判别式为 ,则:与 相切;与 相交;与 相离.注:若两圆为同心圆则 , 相减,不表示直线.6. 圆的切线方程:圆 的斜率为 的切线方程是 过圆 上一点 的切线方程为: .一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地,过圆 上一点 的切线方程为 .若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ,联立求出 切线方程.7. 求切点弦方程:方法是构造图,则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图:ABCD 四类共圆. 已知 的方程 又以 ABCD 为圆为方程为 ,所以 BC 的方程即代,相切即为所求.第四部分 三角函数1. 与 (0 360)终边相同的角的集合(角 与角 的终边重合): 终边在 x 轴上的角的集合: 终边在 y 轴上的角的集合: 终边在坐标轴上的角的集合: 终边在 y=x 轴上的角的集合: 终边在 轴上的角的集合: 若角 与角 的终边关于 x 轴对称,则角 与角 的关系: 若角 与角 的终边关于 y 轴对称,则角 与角 的关系: 若角 与角 的终边在一条直线上,则角 与角 的关系: 角 与角 的终边互相垂直,则角 与角 的关系: 2. 角度与弧度的互换关系:360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.3. 三角函数的定义域:三角函数 定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx4. 三角函数的公式:(一)基本关系公式组二 公式组三公式组四 公式组五 公式组六 (二)角与角之间的互换公式组一
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