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平方根数列递推公式推导通项公式可以用以下关于数列an的递推公式来计算平方根(a 0)的近似值aan = (an 1 + )(a 0,nN+)12aan 1数列an的初值为 a0,这里 a0可以为任意接近于的有理数。可以证明,对于任意的正数aa,当 n 时,数列an收敛,极限为,因此 a0也可以取为任意正数。a下面根据数列an的递推公式和初值 a0导出an的通项公式 an,推导过程如下an = (an 1 + ) = a12aan 1aan + = (an 1 + ) + = a12aan 1a以上两式作比值可得= ()2为了方便计算,记 bn = ,则 an = ,可得 bn = (nN+) ,于是1 + bn1 bn ab2n 1bn = = ()2 = ()2)2 = = (nN+)b2n 1b2n 2b2n 3b根据数列an的递推公式和 an与 bn之间的关系,可以得到a1 = (a0 + ) = ,b1 = = ()212aa0于是bn = = = (nN+)b因此an = = (nN+)1 + bn1 bn aa因为 a 0,a0 0,容易证明不等式 1 0,nN+)a
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