第第 1 1 页页 共共 7 7 页页ABCDEykiA(x,y,z)Ojxz空间向量解立体几何空间向量解立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设（单位正交基底）为坐标ar, ,i j kr r r向量，则存在唯一的有序实数组，使，有123(,)a a a123aa ia ja krrrr序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，123(,)a a aarOxyz记作在空间直角坐标系中，对空间任一点，123(,)aa a arOxyzA存在唯一的有序实数组，使，有序实数组( , , )x y zOAxiyjzkuu u rrr叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作( , , )x y zAOxyz，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标( , , )A x y zxyz二、空间向量的直角坐标运算律二、空间向量的直角坐标运算律（1）若，123(,)aa a ar123( ,)bb b br则，112233(,)abab ab abrr，112233(,)abab ab abrr123(,)()aaaaRr，112233/,()abab ab abRrr（2）若，则111( ,)A x y z222(,)B xyz212121(,)ABxx yy zzuuu r一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（3）/abbarrrr112233()babaRba 三、空间向量直角坐标的数量积三、空间向量直角坐标的数量积1、设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即ba,baba,cos|ba,ba 规定：零向量与任一向量的数量积为 0。bababa,cos| 2、模长公式222 123|aa axxxrr r3、两点间的距离公式：若，111( ,)A x y z222(,)B xyz则，2222 212121|()()()ABABxxyyzzuuu ruuu r或222 ,212121()()()A Bdxxyyzz4、夹角： 注：是两个非零向量）；cos| |a ba babr rr rrr0( ,aba ba brrr rr r。22|aa aarr rr5、 空间向量数量积的性质：|cos,a eaa er rrr r0aba brrrr2|aa arr r6、运算律； ； abba)()(abbacabacba)(四、直线的方向向量及平面的法向量四、直线的方向向量及平面的法向量1、直线的方向向量：我们把直线 上的向量以及与共线的向量叫做直线 的方向向量leel2、平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，n记作，如果，那么向量叫做平面 的法向量。nnn 注：若，则称直线 为平面的法线；ll 平面的法向量就是法线的方向向量。 给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。 3、在空间求平面的法向量的方法： （1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。 （2）待定系数法：建立空间直接坐标系设平面的法向量为( , , )nx y zr在平面内找两个不共线的向量和111( ,)ax y zr222(,)bxy zr建立方程组：00n an br rr r解方程组，取其中的一组解即可。五、证明五、证明 1、证明两直线平行已知两直线和, ,则存在唯一的实数使abbDCaBA,ba/ABCDu u u ru u u r2、证明直线和平面平行（1）已知直线且三点不共线，则存在有序实数对使EDCaBAa,a,ABCDCEu u u ru u u ru u u r（2）已知直线和平面的法向量,则,aBAananAB 3、证明两个平面平行已知两个不重合平面,法向量分别为,则,nm,nm / 4、证明两直线垂直已知直线。，则ba,bDCaBA,0CDABba 5、证明直线和平面垂直已知直线，且 A、B,面的法向量为,则和平面aam/ /aABmu u u ru r6、证明两个平面垂直已知两个平面,两个平面的法向量分别为,则,m nu r rmnu rr六、计算角与距离六、计算角与距离 1、求两异面直线所成的角第第 2 2 页页 共共 7 7 页页xyzMABDCOP已知两异面直线，则异面直线所成的角为：ba,A Ba C DbcosABCD AB CDu u u ru u u r u u u r u u u r例例 1.（ （2008 安徽文）安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为 1 的 菱形，, OABCDABCD4ABC, ,为的中点。求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；OAABCD 底底2OA MOA解：解：作于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系APCD, ,x y z,222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1)222ABPDOM设与所成的角为,ABMD22(1,0,0),(, 1)22ABMD uuu ruuu u r, 1cos,23AB MDABMD uuu r uuu u rg uuu ruuu u r与所成角的大小为 ABMD32、求直线和平面所成的角已知 A,B 为直线上任意两点，为平面的法向量，则和平面所成的角为:ana（1）当时 2, 0nAB2AB nu u u rr（2）当时 ,2nAB2ABnu u u rr例例 2.如图 3，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，侧棱o90ACB AA1=2，D，E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是的重心 G。求 A1B 与ABD 平面 ABD 所成角的大小。 解解：以 C 为坐标原点，CA 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为y 轴，所在直线为 z 轴，建立直角坐标系，1CC设，则aCBCA ， 底底0 , 0 , aA底底0 , 0 aB底底2 , 0 ,1aA底底1 , 0 , 0D ， ， ， 底底1 ,2,2aaE底底31,3,3aaG底底32,6,6aaGE ，底底1 , 0aBD 点 E 在平面 ABD 上的射影是的重心 G，ABD 平面 ABD， ，解得 。GE0BDGE2a ， ，底底32,31,31GE底底2 , 2, 21BA 平面 ABD， 为平面 ABD 的一个法向量。GEGE由32323634|,cos11 1 BAGEBAGEBAGE得 ，32arccos,1BAGE 与平面 ABD 所成的角为 ，即 。BA132arccos2 37arccos评析： 因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求20底0底出的线面角应满足。|2|一般地，设 n 是平面 M 的法向量，AB 是平面 M 的一条斜线，A 为斜足，则 AB 与平面 M所成的角为：。arccosarcsin2AB nAB nABnABn uuu r ruuu r ruuu rruuu rr3、求二面角（1）已知二面角，且，则二面角的平面角llCDlABDCBA,且的大小为：,AB CDu u u r u u u r（2）已知二面角分别为面的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法,lnm,向量所成的角相等或互补。即,m nm nu r ru r r或注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。 (1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。 (2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。例 3 （04 高考四川卷）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=，侧棱 AA1=1，2 侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D，B1C1的中点为 M。求证：（1）CD平面 BDM； （2） 求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小。 分析：分析：要证 CD平面 BDM，只需证明直线 CD 与平面 BDM 内的两条相交直线垂直即可；要求二面角，需找出二面角 的平面角或转化为两直线的夹角。考虑几何法或向量法求解。 解：解：以 C 为原点建立坐标系。则 112 1 122,0,0 ,2,1,0 ,0,1,1 ,1,022 22BBADM 12 1 111,2, 1, 1 ,0,22 222CDABDM uuu ruuu ruuuu rA AA A1 1B B1 1C CB BC C1 1D Dz zy yx xE EG G图 3ABCABCDM第第 3 3 页页 共共 7 7 页页A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HGABCDOSxyz图 4AA1DCBB1C1图 5则，110,0,CD ABCD DMCDAB CDDMuuu r uuu ruuu r uuuu rA1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线，CD平面 BDM。 （2）设 BD 的中点为 G，连结 B1G，则，13 2 1 12 1 123 1,44 422 244 2GBDBG uuu ruuu u r，的夹角等于所求二面角的平面角。110,.BD BGBDBGCDBDuuu r uuu u r 又1CDBGuuu ruuu u r 与。1133cos,arccos33CD BGCD BG uuu r uuu u ruuu r uuu u r所求二面角的大小为4、求两条异面直线的距离已知两条异面直线,是与两直线都垂直的向量,，ba,mu r bBaA ,则两条异面直线的距离 ABmdmu u u ru ru r例 4正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（ ）SABCD2SO 2AB BDSCA BC D515 55 552 105答案选 C；解析：建立如图 4 所示的直角坐标系，则， ，22(,0)22A22(,0)22B，22(,0)22C22(,0)22D(0,0,2)S，( 2,2,0)DBuuu r22(,2)22CS uu u r令向量，且，则，( , ,1)nx yr,nDB nCSruuu r ruu u r00n DBn CSr uuu rr uu u r，( , ,1) ( 2,2,0)022( , ,1) (,2)022x yx y 02 20xyxy，22xy