1历年历年高数高数考题选编考题选编 一、选择题一、选择题1、是函数的( ).0x 1( )sinf xxxA、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点 D、第二类间断点 2、下列各极限均存在，则下列等式成立的是( ).A、 B、00 00()()lim() xf xf xxfxx 00 00()()lim() xf xf xxfxx C、 D、00 00()()lim() xf xxf xfxx 00 00(2)()lim() xf xxf xfxx 3、= ( ).1 cosdx xA、 B、 tansecxxCcotcscxxCC、 D、tan2xCtan()24xC4、对反常积分敛散性的描述正确的是 ( ). 0xe dxA、发散 B、收敛于 0 C、收敛于 1 D、收敛于15、设是的一个原函数，则( )。xe( )f x( )xf x dx A、 B、 C、 D、(1)xexc(1)xexc(1)xexc(1)xexc1当时，是的（ ）.0xxxsin2xA等价无穷小 B同阶但不等价的无穷小 C高阶无穷小 D低阶无穷小2设函数在点处可导，且，则等于( ) .)(xf1x1) 1 ()21 (lim 0xfxfx) 1 (f A B C2 D 21 2123若，则=（ ）.)()(xfxFdxxf)(A. B. C. D. )(xF)(xfcxf)(cxF)(4下列反常积分收敛的是（ ）.A. B. C. D. exxdx2)(lnexxdx21)(lnexxdx lnedxxxln5非齐次微分方程的一个特解应设为（ ）.xeyyy 23y2A B C DxxeyxeAxy2xAeyxAxey二、填空题二、填空题1、设，则.( )(1)(2)()f xx xxxnL(0)_f2、函数在内满足拉格朗日中值定理的.( )ln(21)f xx1,2_3、函数的凹区间为_ _.233yxx4、函数，则.2 ( )xtaxe dt( )_x5、微分方程通解是_.x yye1设，则_ _ _ _.xyarcsindy 2若函数 在处连续，则 . 001 )(3xaxxe xfx0xa 3函数单调增加的区间是_ _.xxyln224定积分 .31max(2, )x dx 5微分方程的通解为 .0yy6.设，则xdtttxF 1sin)(_)2(F三、计算下列极限三、计算下列极限1.求. 2.求 3.求极限 3113lim()11xxxtan01limxxxxxx3sin)21ln(lim 04求极限)arctan2(limxx x 5.设在内连续,且,求函数的导数及极限( )f x0,lim( )1 xf x 0( )xxtee f t dt0lim( )xxtxee f t dt四、计算下列导数与微分四、计算下列导数与微分1、由方程所确定的隐函数的导数.sincos()0yxxy( )yy xdy dx2、求函数的导数.ln(0)xyxxdy dx33.求参数方程所确定的函数的二阶导数3 2ttxe ye ( )yy x22d y dx4.设，求yyexey 5.已知函数由参数方程所确定，求.)(xyy ttytxarctan)1ln(2dxdy6. 设 ，求.21 (23)(52 )xyxx0xdy7.设函数 在处可导，求的值.21( )1xxf xaxb x1xba,8.设，求.2ln(1)yxx22d y dx9.设满足方程，求.( )yy x22lnarctanyxyx y五、计算下列不定积分和定积分五、计算下列不定积分和定积分1.求. 2.求. 3.求.22|sin|xx dx1 ln xdxx220cosxexdx4., 5., 6.xdxxsectan3dxxx2) 1ln(1041dxxx7. 8.求 9. arcsindxx12201xx dxln2201xedx六、1.求微分方程： 的通解.03“ yxy2.设连续函数满足方程，求)(xfxxdttfxf 02)(2)()(xf3.求微分方程的特解200|0yxxyeyy 4.求微分方程的通解.2(1)yxyxy5.求微分方程的解.xxyyxsin226.求微分方程：的通解.082 yyy七、应用题七、应用题 1、设排水阴沟的横断面积一定，横断面的上部是半圆形，下部是矩形（矩形的宽等于4圆的直径） ，问圆半径与矩形高之比为何值时，建沟所用材料（包括顶部、底部及侧rh 壁）为最省.2、一物体按规律做直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由3xct移至时，克服介质阻力所做的功.0x xa 3一窗户下部为矩形，配以透明玻璃，上部为半圆形，其直径等于矩形的底，上部配以 彩色玻璃，已知窗户周长为，彩色玻璃透光度（单位面积所透过的光线多少的一种度P 量）是透明玻璃的一半，求矩形底为多少时，该窗户透光量最大？4.设平面图形由, 及曲线过原点的切线所围成，求该图形的面xyln0yxyln积5.求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积，并求这一平面图形绕轴yxyxx旋转一周所得旋转体的体积. 6.用铁皮制作一个容积为 8 立方米的有盖圆柱形桶，问桶底半径与桶高等于多少时，所 用铁皮的面积最小？ 7质量为千克的物体位于粗糙的平面上，须用力才把物体从原位置移动。已知摩擦m系数为，问作用力对水平面的倾斜角为多大时，才能使所须的力量为最小？338.抛物线 (第一象限部分)上求一点，使过该点的切线与直线相交所围2xy 8, 0xy成的三角形的面积为最大. 八、证明题八、证明题1.设函数有一阶连续导数，又为函数的驻点.( )f x(0)a a 220( )()( )xF xxtft dt试证：在内至少有一点，使.(0, )ac( )0fc 2.当时,证明20 x3 31tanxxx3. 当时，证明不等式.ex xexedtttdttt 1)1ln(ln