第第 1 讲讲 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此 f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理( )A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确解析 f(x)sin(x21)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确答案 C2观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义在R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)( )Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故 g(x)g(x)答案 D3(2012江西卷)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10等于( )A28 B76 C123 D199解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则 a10b10123.答案 C4(2014长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)axax，C(x)axax，其中 a0，且 a1，下面正确的运算公式是( )S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)A B C D解析 经验证易知错误依题意，注意到 2S(xy)2(axyaxy)，S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有 2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有 2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)综上所述，选 B.答案 B5由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba” ；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc” ；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)” ；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax” ；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|” ；“ ”类比得到“ ” acbcabacbcab以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A1 B2 C3 D4解析 正确；错误答案 B二、填空题6(2014西安五校联考)观察下式：112；23432；3456752；4567891072，则得出结论：_.解析 各等式的左边是第 n 个自然数到第 3n2 个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)27若等差数列an的首项为 a1，公差为 d，前 n 项的和为 Sn，则数列为等Snn差数列，且通项为a1(n1) ，类似地，请完成下列命题：若各项均Snnd2为正数的等比数列bn的首项为 b1，公比为 q，前 n 项的积为 Tn，则_答案 数列为等比数列，且通项为b1()n1nTnnTnq8(2014揭阳一模)给出下列等式：2cos ，2cos 242 2，2cos ，请从中归纳出第 n 个等式：82 2 216_.2 2 2答案 2cos 2n1三、解答题9给出下面的数表序列：表 1 表 2 表 31 1 3 1 3 54 4 8 12 其中表 n(n1,2,3，)有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3，5，2n1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表 4，验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 n(n3)(不要求证明)解 表 4 为 1 3 5 74 8 1212 2032它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32，它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列将这一结论推广到表 n(n3)，即表 n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列10f(x)，先分别求 f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜13x 3想一般性结论，并给出证明解 f(0)f(1)130 3131 3，11 3131 3331 3131 333同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).3333由此猜想 f(x)f(1x).33证明：f(x)f(1x)13x 3131x 313x 33x3 33x13x 33x3 33x.33x3 33x33能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1(2012江西卷)观察下列事实：|x|y|1 的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2 的不同整数解(x，y)的个数为 8，|x|y|3 的不同整数解(x，y)的个数为 12，则|x|y|20 的不同整数解(x，y)的个数为( )A76 B80 C86 D92解析 由|x|y|1 的不同整数解的个数为 4，|x|y|2 的不同整数解的个数为 8，|x|y|3 的不同整数解的个数为 12，归纳推理得|x|y|n 的不同整数解的个数为 4n，故|x|y|20 的不同整数解的个数为 80.故选 B.答案 B2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图 1 中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A289 B1 024 C1 225 D1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为an，则 a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n，nn12观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn，则 bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得 n 都为正整数的只有 1 225.答案 C二、填空题3在平面直角坐标系中，若点 P(x，y)的坐标 x，y 均为整数，则称点 P 为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L.例如图中ABC 是格点三角形，对应的 S1，N0，L4.(1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S，N，L 分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为 SaNbLc，其中 a，b，c 为常数若某格点多边形对应的 N71，L18，则 S_(用数值作答)解析 (1)四边形 DEFG 是一个直角梯形，观察图形可知：S(2)22 3，N1，L6.212(2)由(1)知，S四边形 DEFGa6bc3.SABC4bc1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为 2 的正方形，该正方形中 S4，N1，L8.则 Sa8bc4.联立解得 a1，b .c1.12SN L1，若某格点多边形对应的 N71，L18，则12S71 18179.12答案 (1)3,1,6 (2)79三、解答题4(2012福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解 (1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151 sin 301 .121434(2)三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30) .34证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2 cos2sin cos sin2343214sin cos sin2 sin2 cos2 .3212343434