1习 题 一 解 答1取 3.14，3.15，作为 的近似值，求各自的绝对误差，相22 7355 113 对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理 2 后，可以根据定理 2 更规范地解答。根据定理 2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。解：（1）绝对误差:e(x)=3.143.141592653.140.001590.0016。相对误差：3( )0.0016( )0.51 103.14re xe xx有效数字：因为 3.14159265=0.31415926510，3.140.31410，m=1。而 3.143.141592653.140.00159所以3.140.001590.005=0.510221 311101022所以，3.14 作为 的近似值有 3 个有效数字。（2）绝对误差:e(x)=3.153.141592653.140.0084070.0085。相对误差：2( )0.0085( )0.27 103.15re xe xx 有效数字：因为 3.14159265=0.31415926510，3.150.31510，m=1。而 3.153.141592653.140.008407所以3.150.0084070.05=0.510111 211101022所以，3.15 作为 的近似值有 2 个有效数字。（3）绝对误差: 22( )3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x LL相对误差：23( )0.0013( )0.41 1022 7re xe xx 有效数字：因为 3.14159265=0.31415926510，m=1。223.1428571430.3142857143 107而223.141592653.1428571430.0012644937 LL所以221 3223.141592653.1428571430.0012644930.0057 110.5 10101022LL所以，作为 的近似值有 3 个有效数字。22 7 （4）绝对误差: 355( )3.141592653.141592920.00000027050.000000271113e x LL相对误差：7( )0.000000271( )0.863 10355 113re xe xx 有效数字：因为 3.14159265=0.31415926510，m=1。3553.141592920.314159292 10113而3553.141592653.141592920.0000002705113 LL所以661 73553.141592653.141592920.00000027050.0000005113 110.5 10101022LL所以，作为 的近似值有 7 个有效数字。355 113 指出：实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。为简单计，本题相对误差没有化为百分数。3在求出绝对误差后，按定义求有效数字是基本功，必须掌握。绝对不允许有了定理后就不会根据定义讨论。因此，本类问题的解答应当是两种方法都熟练掌握的。实际上，根据基本概念分析讨论问题始终是最重要的方法，由于不同的作者会提出不同的定理系统，因此，掌握根据最本元的定义讨论问题的方法是非常重要的。 祖冲之（公元 429 年公元 500 年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。在世界上最早计算出 的真值在 3.1415926（朒数）和 3.1415927（盈数）之间，相当于精确到小数第 7 位，这一纪录直到 15 世纪才由阿拉伯数学家阿尔.卡西打破。祖冲之还给出 的两个分数形式：（约率）和（密率），其中密率精确到小数第 7 位，在西方直22 7355 113到 16 世纪才由荷兰数学家奥托重新发现，比祖冲之晚了一千多年，数学史学界主张称“密率”为“祖率”。近似数的有效数字只能是有限位。近似数的误差分析中采用近似数 x 而不是其准确数，准确数是未知的。2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。 3467854，7000009，00001324580，0600300分析：本题实际上指出，按要求截取的近似数符合有效数字定义，相关数位上的数字都是有效数字。解答方法简单，直接写出就可以，不需要也不应该做形式转化（化为科学计数法形式）解：346785434679， 700000970000， 00001324580000013246， 0600300060030。 指出：注意 0。43、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出 他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。12340.0315,0.3015,31.50,5000xxxx分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是1234()0.00005, ()0.00005, ()0.005, ()0.5xxxx由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限 分别是1 1 12 2 23 3 34 4 4()0.00005()0.16%,0.0315()0.00005()0.02%,0.3015()0.005()0.002%,31.5()0.5()0.01%.5000xxxxxxxxxxxx有效数字分别有 3 位、4 位、3 位、4 位。4.计算的近似值，使其相对误差不超过 0.1。10解：设取 n 个有效数字可使相对误差小于 0.1，则，111100.1%2n a而，显然，此时，310413a ，1111110100.1%22 3nn a即，13110106n也即46 1010n所以，n=4。此时，。103.1625、在计算机数系 F(10,4,-77,77)中，对，试求它们的机器浮点数31 120.14281 100.314159 10xx 与( )(1,2)ifl xi 及其相对误差。 解：53333 11111111 2222()0.1428 10 , ()()0.14281 100.1428 100.00001 10 ,()0.3142 10 , ()()0.314159 10( 0.3142 10 )0.00041 10fl xe fl xxfl xfl xe fl xxfl x 其相对误差分别是。3112310.00001 100.000041 100.007%,0.013%0.1428 100.3142 10ee 6、在机器数系 F(10,8,L,U)中，取三个数，试按4220.23371258 10 ,0.33678429 10 ,0.33677811 10xyz 两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。(),()xyz xyzxyz解：422222222()(0.23371258 100.33678429 10 )0.33677811 10(0.00000023 100.33678429 10 )0.33677811 100.33678452 100.33677811 100.00000641 10flxyz42242222()0.23371258 10(0.33678429 100.33677811 10 )0.23371258 100.00000618 100.00000023 100.00000618 100.00000641 10fl xyz精确计算得：4222222220.23371258 100.33678429 100.33677811 10(0.00000023371258 100.33678429 10 )0.33677811 100.33678452371258 100.33677811 100.0000641371258 10xyz第一种算法按从小到大计算 ,但出现了两个数量级相差较大的数相加 , 容易出现大数吃小数 .而第二种算法则出现了两个相近的数相减 ,容易导致 有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。* 在机器数系 F(10,8,L,U)中，取三个数，试按4220.23371258 10 ,0.33678429 10 ,0.33677811 10xyz 两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。(),()xyz xyzxyz解：642222222222()(0.23371258 100.33678429 10 )0.33677811 10(0.00233713 100.33678429 10 )0.33677811 100.33912142 100.33677811 100.00003391 100.33677811 100.3367442 10flxyz 42242242222()0.23371258 10(0.33678429 100.33677811 10 )0.23371258 10(0.00003368 100.33677811 10 )0.23371258 100.33674742 100.00000023 100.33674742 100.33674719 10fl xyz 第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。精确计算得：42220.23371258 100.33678429 100.33677811 10 0.0000233712580.003367842933.677811 0.00339121415833.677811 33.6744197858420.33674419785842 10xyz 显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。7、某计算机的机器数系为 F(10,2,L,U)，用浮点运算分别 从左到右计 算及从右到左计算1 0.40.30.20.040.030.020.01 试比较所得结果。 解：从左到右计算得1 0.40.30.20.040.030.020.01 0.1 100.04 100.03 100.02 100.00 100.00 100.00 100.00 10 0.19 10 1.9 从右到左计算得711111 0.40.30.20.040.030.020.01 0.01 0.020.030.040.20.