小学数学奥林匹克竞赛模拟题第一部分第二节小学数学奥林匹克竞赛模拟题第一部分第二节二、有规律的数列习题二1、找出以下各个数列的规律，在括号里填上适当的数。(1)3，12，27，48，75，( )；(2)3，26，111，324，755，1518，2751，( )；(3)2，10，10，66，26，218，50，514，82，1002，( )，( )；(4)0.25，0.4，0.5，1.6，0.75，3.6，1，6.4，( )，( )。2、239 被某数除，所得的商与除数相同，余数比除数少 1，求出余数来。3、在一个两位数的两个数字中间加一个 0，那么所得的 3 位数是原数的 7 倍，求这个两位数。4、一个两位数，把它的个位数字与十位数字交换位置后所得的两位数比原数多 18，求出这个两位数来。5、由算式，求出 x，y，z 代表什么数。6、六年级有甲乙丙丁 4 个班，不算甲班，其余 3 班一共有 147 人，不算丁班，其余 3 个班共有 144 人，乙丙两班人数之和与甲丁两班人数之和相等，求 4 个班共有多少人？7、计算下式的值：(1+)(+)-(1+)(+)。8、(第 7 题的推广)设 n3 是一个自然数，计算下式的值：(1+)(+)-(1+ +)(+)。9、有 9 个不同的自然数，从小到大排成一行，相加的和为 61，如果去掉其中最小的和最大的数，剩下 7个数的和是 49，求在原来排列的次序中，第三个数是多少？10、计算。11、一个分数在约分前分子分母的和为 108，如果分子加上 15，分母加上 12 再作约分，恰好得到，求原来的分数化成最简分数应是多少？12、连结圆周上任意两点的线段叫做弦，直径正好就是经过圆心的弦。一个圆被一条直径和一条弦划分，最多可分成 4 个区域。一个圆被 2 条直径和一条弦划分，最多可分成 7 个区域。那么，一个圆若被一百条直径和一条弦来分，最多可分成多少个区域呢？13、3 个三角形最多可把整个平面分成多少个区域？4 个三角形呢？10 个三角形呢？14、仿照例 6 的方法计算 13+23+33+n3。15、10 条直线最多可以把平面分成几部分？习题二提示及部分解答1、(1)仿例 1(1)题的方法即可；(2)反复用例 1(1)题的做法，直到找出规律为止；(3)这是由两个数列凑合而成的，对每个数列用上述方法；(4)它也是由两个数列合成的，做法与上一小题同。2、解法一：因为商与除数相同，所以商与除数的乘积是一个平方数，而且这个平方数一定不超过 239(想一想理由是什么？)。然后判断不超过 239 的平方数中，哪个平方数是符合题目要求的(这里要用到除法中除数与余数的大小关系)。由此即可求出除数。解法二：设除数是 x，那么根据条件，并把除法改用乘法(想想怎样用乘法对除法作验算)写出来就可得到 239=x2+x-1。等式两边都加 1 得 239+1=x2+x，这就是x(x+1)=240。把这个式看成是两个连续自然数的积是 240，你应该知道怎样求 x 了。3、设这个两位数为 ab，a 是十位数字，b 是个位数字，那么这个两位数可以写成 10a+b。同理，中间加一个 0 所得的 3 位数可以写成 100a+b。于是由题给条件可列出下面的式子，100a+b=7(10a+b)，从而100a+b-b-70a=70a+7b-b-70a，这就是 30a=6b，因此 b=5a。注意到 a、b 只能取小于 10 的数即可求出它们的值。4、注意两位数 ab 与 ba 分别可表示成 10a+b 以及 10b+a，然后按题意列式求解。5、这种几个字母轮换出现的式子通常用加法去做，即把 3 个式子的左边和右边分别相加，这就得到4x+4y+4z=44，由此即可求出 x+y+z 的值。6、根据条件列出以下式子：由，两式推出丁=甲+3，代入式得2 甲=乙+丙-3 把式两边都乘以 2 得2 甲+2 乙+2 丙=288 用式代替式中的 2 甲，就可求出乙+丙的值。再利用式就可求出四班人数总和。7、算式里有 4 个括号，4 个括号中共同有的是+，就设 a=+，题目中的式子就变成(1+a)(a+)-(1+a+)a，利用分配律两次(参考(2.8)式的计算过程)就可以算出它的值。8、做法与上题同，只不过这次应假设 a=+，于是原式变为(1+a)(a+)-(1+a+)a。9、注意其中最小与最大的两个数的和是 61-49=12。由此再利用 2+3+4+5+6+7+8+9+10=54 比 61 小推出，最小，最大两数只可能是 1 和 11。最后注意 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66。剩下的推理由你自己完成。10、此题与第 7、8 两题类同，千万不要直接计算。注意到分子、分母中四个数的共同点，可以设a=9876543210，于是原式变为，用分配律把分母的值算出来即可。11、假设约分前分子为 a，分母为 b，那么由题意得到a+b=108 (1)= (2)注意到(2)式就是 b+12=2(a+15)，即有 b+12-2a-12=2a+215-2a-12，这就是b-2a=18。 (3)(1)式表示 a 与 b 的和是 108，而(3)式表示 b 比 a 的 2 倍还多 18，现在求 a，b 就容易了。12、解法一：先研究 3 条直径和 1 条弦最多可把圆分成几个区域，结论是 10 个，再由数列 4，7，10，的规律求出问题的答案。解法二：先考虑一百条直径把圆分成多少个区域(注意每加一条不同的直径，划分的区域多出 2 个)，然后再添上一条弦，看它能增加最多多少个区域。13、注意先研究一个及两个三角形的情形。方法与上题类似。14、先证明对任何自然数 n 有(n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1， (1)由此推出(n+1)4-n4=4n4+6n2+4n+1。 (2)然后利用(2)式分别取 n 为 1，2，n-1，n 得出 n 个等式。把这些等式左、右两边分别相加，然后利用(2.15)式及关于前 n 个自然数的和的公式就得出要求的计算公式了。详细过程参见例 6。另解：此题还有一个特殊的解法。直接计算可得13 =12； 13+23 =32；13+23+33 =62； 13+23+33+43=102；13+23+33+43+53=152； 注意到数列 1，3，6，10，15， (1)它的规律是：其中第 n 个数等于 1+2+n，即可得出13+23+n3=(1+2+n)2=()2。 (2)在寻找数列(1)中第 n 个数的规律时，仍然要用到正文中例 1 给出的方法，即把(1)写成并注意 3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5 等等。15、仿照例 3 或习题第 13 题。