衢州市实验学校校本课程1目目 录录专题一 生活中的数学 第一讲 加法原理 4第二讲 乘法原理 7第三讲 页码中的数字问题 10专题二 图形世界 第一讲 平面图形的面积一 13第二讲 平面图形的面积二 16第三讲 图形中的规律 19专题三 分数真奇妙第一讲 最大公因数与最小公倍数第二讲 分数的大小比较第三讲 有趣的分数加减法专题四 解决问题第一讲 行程问题相遇第二讲 行程问题追及第二讲 鸡兔同笼问题衢州市实验学校校本课程2专题一专题一 第一讲第一讲 加法原理加法原理目标导航目标导航生活中我们经常会遇到做一件事情会有好多种搭配方法。我们再考虑一共有多少种方法时，我们可以先对完成这件事情的方法分分类，然后再把每一类的方法加起来，就能知道完成这件事一共有多少种不同的方法。通过今天这一讲内容的学习，你就能很快地掌握这一类问题的解决方法。经典解析经典解析例例 1.1. 小明、小丽和小西三个好朋友去拍照。他们可以拍单人照，双人照或三人照，如果不考虑排列顺序，他们三人一共有多少种不同的拍照方法？分析：分析：我们假设三人为 A、B、C，可以把拍的照片先分成三类：第一类是单人照，A、B、C 有 3 张不同的照片；第二类双人照，AB、AC、BC 有 3 张不同的照片；第三类是三人照 ABC 只有 1 张照片。那么他们三人一共有多少种不同的拍照方法只要把三类照片加起来就行了。解：33+1=7（张）答：他们一共有 7 种不同的拍照方法。 华华有 50 元，20 元，10 元纸币各一张，用这些钱可以组成多少种不同的币值？在 1、2、3、4 四个数之间插入乘号，至少插入一个。一共可以得到多少个不同的乘积？ 从 1、2、3、4、5、6 这六个数中，每次取出两个作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个不同的真分数？衢州市实验学校校本课程3例例 2.2. 6 支球队进行单循环赛，即每两支球队之间都进行一场比赛，这样一共要进行多少场比赛？分析：分析：把 6 支球队记作：A、B、C、D、E、F，所有的比赛可以分为五类：第一类是 A和 B、C、D、E、F；第二类是 B 和 C、D、E、F（A 和 B， B 和 A 重复不算） ；第三类是 C 和 D、E、F；第四类是 D 和 E、F；第五类是 E 和 F。解：5+4+3+2+1=15（场） 答：一共要进行 15 场比赛。 某次会议一共有 5 人参加，见面后每两人都要握一次手，一共握了多少次手？ 火车从衢州站到杭州站，中途还要停靠 6 个站，铁路运输公司要为这列火车在衢州站和杭州站之间往返运行准备多少种不同的车票？两个相同的骰子，每个骰子的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6。现在将两个放在桌面上骰子，向上一面的两个数字之和是偶数的有多少种可能？我的收获（我的收获（ ）颗星）颗星衢州市实验学校校本课程4专题一专题一第二讲第二讲 乘法原理乘法原理目标导航目标导航在做一件事时，有时要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，应当将第一步中的每一种方法与第二步中的每一种方法一一对应起来，再与第三步、第四步的每一种方法一一对应，也就是将每一步骤中所有可能用的方法数乘一乘。在应用乘法原理解决问题时，我们还要认清问题中是否还有相关的条件限制，如果有条件限制，要先用枚举的方法试一试，分析这个条件限制后与限制前排列的关系，然后再着手解决问题。通过今天这一讲内容的学习，你就能很快地掌握这一类问题的解决方法。经典解析经典解析例例 1.1.把虎、狮、豹三张不同的卡片放在甲、乙、丙盒内，共有几种不同的放法？分析：分析：从题目中发现，这件事得分三步走，第一步放甲盒，第二步放乙盒，第三步放丙盒（当然这个顺序可以颠倒） 。先放甲盒有三种不同的放法，再放乙盒，乙盒有两种不同的放法，最后把余下的一张放在丙盒，只有一种放法。把各盒中的放法种数相乘，就是3216 种不同的方法。解： 3216（种）答：共有 6 种不同的方法。 甲、乙、丙三个同学排成一排，共有几种不同的方法？ 用 3、4、5 三个数字可以组成多少个各个数位上不同的三位数？衢州市实验学校校本课程5 小张、小王、小李、小赵四个人排成一排照相，可以照多少种不同排列的照片？例例 2.2.东东、明明和丁丁三人排成一排去照相，东东不能站中间，那么他们一共能照出多少种不同排列的照片？分析：分析：如果没有“东东不能站中间”这个条件的限制，那么一共有 3216 种不同的排列。再从这么多的排列中，去除“东东站中间”这种情况，那么剩下的就是东东不在中间的所有排列情况了。东东在中间时，一共有 212（种）排列，所以东东不在中间的排列有 6-2=4（种） 。解：没有条件限制时的排列：3216（种）东东在中间时的排列： 212（种）东东不在中间时的排列：6-2=4（种）答：他们一共能照出 4 种不同的照片。 小张、小王、小李三人排成一排照相，小李不能站在最左边，那么一共可以照多少种不同排列的照片？ 用 0、4、5 三个数字可以组成多少个各个数位上不同的三位数？ 小张、小王、小李、小赵四个人排成一排照相，小李一定要站在最左边，那么可以照成多少种不同排列的照片？我的收获（我的收获（ ）颗星）颗星衢州市实验学校校本课程6专题一专题一第三讲第三讲 页码问题页码问题目标导航目标导航页码问题是一类有趣的数学问题，同学们在解决时一定要仔细分析已知条件，通过一系列的观察与推理，找出规律，从而找到解决问题的突破口。经典解析经典解析例例 1.1.一本书共有 105 页，在这本书所有的页码中共用了多少个数字？分析：分析：1105 这 105 个数如果按数位分，可以分为：一位数、两位数、三位数，它们中的每个数分别由 1 个、2 个、3 个数字组成。所以可以按数位找出每类中分别有几个数，然后再乘 1、2 或 3，即可算出所用数字的总数。解：一位数：19，有 9 个数，共有数字：19=9（个）两位数：1099，有 90 个数，共有数字：290=180（个）三位数：100105，有 6 个数，共有数字：36=18（个）9+180+18=207（个）答：共用了 207 个数字。 一本故事书有 325 页，编这本书的页码一共要用多少个数字？ 印刷厂编印一本辞典的页码，共用了 2211 个数字。问：这本辞典共有多少页？ 有一本 48 页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到 1131。老师说小明计算错了，你知道为什么吗？衢州市实验学校校本课程7例例 2.2. 一本科幻书共 320 页，在这本书的页码中数字 1 一共出现了多少次？分析：分析：1 会在哪些数位上出现呢？我们可以按数位分类，个位上每 10 个数出现一次，共 32 次；十位上每 100 个数出现 10 次，共 40 次；百位上出现在 100199 中共 100 次，所以只要把各个数位出现次数相加即可。解：32+40+100=172（次） 答：一共出现了 172 次。 小明从 1 一直写到 500，请问他一共写了多少个“1”？ 有一本书，在印刷它的页码时共用了 2001 个数字，在这本书中数字“1”出现了多少次？一本故事书的页码，共用了 39 个零，问这本书共有多少页？衢州市实验学校校本课程8我的收获（我的收获（ ）颗星）颗星专题二专题二第一讲第一讲 平面图形的面积（一）平面图形的面积（一）目标导航目标导航要求平行四边形、三角形和梯形的面积，我们可以根据相对应的底和高求解，然而有时底与高又没有直接告知，而是告诉某一部分的面积，那么我们可以通过这一部分的面积，求出所需要的底或高，然后求出所要求的平面图形的面积；有时还可以根据同底等高或同高等底之间的关系,找到解决问题的突破口。经典解析经典解析例例 1 1 . .下图平行四边形面积是 48cm2，求阴影部分三角形的面积。分析：分析：从图中发现，阴影部分三角形的高已知，而底未知，底怎么求呢？我们可以根据平行四边形的面积和高求出底：4868（厘米） ，然后用 853（厘米）求出阴影部分三角形的底。解：4868（厘米）853（厘米）6318（平方厘米）答：阴影部分三角形的面积是 18 平方厘米。 如下图，三角形 ABC 中，BE=6cm，EC=7cm，三角形 ABE 的面积是 21cm2，三角形 ABC 的面积是多少？ 下图中，梯形的面积是 72 平方厘米。请你算出阴影部分的面积。下图中，梯形的面积是 72 平方厘米。请你算出阴影部分的面积。 图中三角形 ABC 的面积是 30 平方厘米，AD=5 厘米，EF=3 厘米，求阴影部分的面5cm6cm4m12mAEBC衢州市实验学校校本课程9例例 2.2.已知空白三角形的面积是 15 平方厘米，BE 是 EC 的 3 倍，求阴影部分的面积。分析：分析：阴影部分三角形的底与高都不知道，该怎么求它的面积呢？我们可以从空白三角形和阴影部分三角形的底之间的关系入手，找到它们面积之间的关系:空白三角形和阴影部分三角形的底 BE 是 EC 的 3 倍，而高是相等的，所以面积也是 3 倍关系。解：1535（平方厘米）答：阴影部分的面积是 5 平方厘米。 下图中平行四边形的面积是 36m2, A 是底边的中点，求阴影部分的面积。 下图中，甲与乙的面积相比，有什么关系，试说明理由。 如图，四边形 AC 和 BD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形，已知 AE=30 厘米，CE=60厘米，BE=80 厘米，DE=40 厘米，问：丙与丁两个三角形面积之和是甲、乙三角形面积之和的多少倍？ABCEA衢州市实验学校校本课程10我的收获（我的收获（ ）颗星）颗星第二讲第二讲 平面图形的面积（二）平面图形的面积（二）目标导航：目标导航：我们经常会碰到一些非常规的图形，它们的面积计算通常要转化为常见的基本图形，解题的思路是仔细观察、认真分析这个图形由哪些基本图形组成，是否具备需要的数据，在明确思路的基础上，运用割补、添加辅助线等方法对图形进行恰当的分解或组合，将非常规图形转化为基本图形的和或差关系。对于较复杂的问题，除了要灵活运用有关的面积计算公式，还可以通过比较图形中有关量之间的关系或列方程的方法，找到解决问题的突破口。 经典解析：经典解析：例例 1 1：求下图阴影部分的面积。分析分析: :阴影部分的面积有两部分，分开来求不容易，方法一我们可以把阴影部分转化成平行四边形面积-空白部分面积来求。方法二空白部分三角形与平形四边形是等底等高，空白三角形面积是平行四边形面积的一半，阴影部分面积也是平形四边形的一半，因此阴影部分面积=空白三角形的面积。解（1）：126-1262=36（cm2）（2）：1262=36（cm2） 在一块长 40m，宽 30 m 的长方形菜地，菜地中间有一条小路 （如下图所示） ，求菜地的面积。 求下图中阴影部分的面积。6dm12dm40m30m1m12m8m15m衢州市实验学校校本课程11 如图，三角形 ADE 的面积比正方形面积大 8 平方厘米，已知 AD=10cm,求 DE 的长。例例 2 2：如图，由正方形 ABCD 和正方形 AEFG 组