第六讲第六讲 函数的单调性与最大函数的单调性与最大(小小)值值一、选择题：(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1下列函数中，在区间(0，)上不是增函数的是( )Ay2x1 By3x21Cy Dy|x|2x解析：由函数单调性定义知选 C.答案：C2定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示，则在(2,0)上，下列函数中与 f(x)的单调性不同的是( ) Ayx21By|x|1CyError!DyError!解析：利用偶函数的对称性知 f(x)在(2,0)上为减函数又 yx21 在(2,0)上为减函数；y|x|1 在(2,0)上为减函数；yError!在(2,0)上为增函数，yError!在(2,0)上为减函数故选 C.答案：C3(2010北京)给定函数yx ；ylog (x1)；y|x1|；y2x1，其中在区间(0,1)上单调1212递减的函数的序号是( )A BC D解析：是幂函数，其在(0，)上为增函数，故此项不符合题意；中的函数是由函数 ylog x 向左12平移 1 个单位而得到的，因原函数在(0，)上为减函数，故此项符合题意；中的函数图象是函数yx1 的图象保留 x 轴上方的部分，下方的图象翻折到 x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；中的函数为指数函数，其底数大于 1，故其在 R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择 B.答案：B4已知函数 f(x)Error!若 f(2a2)f(a)，则实数 a 的取值范围是( )A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析：f(x)Error!由 f(x)的图象可知 f(x)在(，)上是单调递增函数，由 f(2a2)f(a)得2a2a，即 a2a22 时，f(x)单调递增，如果 x1x22 时，f(x)单调递增且 f(x)f(x4)，所以有 f(x2)1，则 f(x)为增函数，所以 f(x)maxaloga2，f(x)min1，依题意得 aloga21a，即 loga21，解得 a (舍去)12若 0x2x1；x2f(x1)x1f(x2)；x2x1，可得1，即两点(x1，f(x1)与(x2，f(x2)连线的斜率大于 1，显然f(x2)f(x1)x2x1不正确；由 x2f(x1)x1f(x2)得，即表示两点(x1，f(x1)、(x2，f(x2)与原点连线的斜率的大小，可以看f(x1)x1f(x2)x2出结论正确；结合函数图象，容易判断的结论是正确的答案：10已知函数 f(x)(a1)3axa1(1)若 a0，则 f(x)的定义域是_；(2)若 f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数 a 的取值范围是_解析：(1)当 a0 且 a1 时，由 3ax0 得 x ，即此时函数 f(x)的定义域是；3a(，3a(2)当 a10，即 a1 时，要使 f(x)在(0,1上是减函数，则需 3a10，此时 10，此时 a0，x120，x220，12a .12即实数 a 的取值范围是.(12，)评析：对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析，做好定性刻画、图形刻画和定量刻画逆用函数单调性的定义，根据 x1x2与 f(x1)f(x2)是同号还是异号构造不等式，通过分离参数来求其取值范围12已知函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)x2，则 x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0 时，f(x)0，f(x1x2)x2，则 f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0 时，f(x)0，f(x1x2)0，即 f(x1)f(x2)，f(x)在 R 上为减函数(2)f(x)在 R 上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为 f(3)与 f(3)而 f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为 2，最小值为2.13已知定义域为0,1的函数 f(x)同时满足：对于任意的 x0,1，总有 f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，则有 f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求 f(0)的值；(2)求 f(x)的最大值；(3)若对于任意 x0,1)，总有 4f2(x)4(2a)f(x)54a0，求实数 a 的取值范围解：(1)对于条件，令 x1x20 得 f(0)0，又由条件知 f(0)0，故 f(0)0.(2)设 0x1x21，则 x2x1(0,1)，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0.即 f(x2)f(x1)，故 f(x)在0,1上递增，从而 f(x)的最大值是 f(1)1.(3)因 f(x)在0,1上是增函数，则 f(x)0,1，又 4f2(x)4(2a)f(x)54a0a对4f2(x)8f(x)544f(x)x0,1)恒成立，设 y4f2(x)8f(x)544f(x)1f(x)1，141f(x)则a1.