小学奥数基础教程（四年级）- 1 -小学奥数基础教程（四年级）小学奥数基础教程（四年级）第第 1 1 讲讲 速算与巧算（一）速算与巧算（一） 第第 2 2 讲讲 速算与巧算（二）速算与巧算（二） 第第 3 3 讲讲 高斯求和高斯求和 第第 4 4 讲讲 4 4，8 8，9 9 整除的数的特征整除的数的特征 第第 5 5 讲讲 弃九法弃九法 第第 6 6 讲讲 数的整除性（二）数的整除性（二） 第第 7 7 讲讲 找规律（一）找规律（一）第第 8 8 讲讲 找规律（二）找规律（二）第第 9 9 讲讲 数字谜（一）数字谜（一）第第 1010 讲讲 数字谜（二）数字谜（二）第第 1111 讲讲 归一问题与归总问题归一问题与归总问题第第 1212 讲讲 年龄问题年龄问题第第 1313 讲讲 鸡兔同笼问题与假设法鸡兔同笼问题与假设法第第 1414 讲讲 盈亏问题与比较法（一）盈亏问题与比较法（一）第第 1515 讲讲 盈亏问题与比较法（二）盈亏问题与比较法（二）第第 1616 讲讲 数阵图（一）数阵图（一）第第 1717 讲讲 数阵图（二）数阵图（二）第第 1818 讲讲 数阵图（三）数阵图（三）第第 1919 将将 乘法原理乘法原理第第 2020 讲讲 加法原理（一）加法原理（一）第第 2121 讲讲 加法原理（二）加法原理（二）第第 2222 讲讲 还原问题（一）还原问题（一）第第 2323 讲讲 还原问题（二）还原问题（二）第第 2424 讲讲 页码问题页码问题第第 2525 讲讲 智取火柴智取火柴第第 2626 讲讲 逻辑问题（一）逻辑问题（一）第第 2727 讲讲 逻辑问题（二）逻辑问题（二）第第 2828 讲讲 最不利原则最不利原则第第 2929 讲讲 抽屉原理（一）抽屉原理（一）第第 3030 讲讲 抽屉原理（二）抽屉原理（二）第第 1 1 讲讲 速算与巧算（一）速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。例例 1 1 四年级一班第一小组有 10 名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求这 10 名同学的总分。分析与解分析与解：通常的做法是将这 10 个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10 个数与 80 的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比 80 小。于是得到总和=8010（6-2-3311-8009809。实际计算时只需口算，将这些数与 80 的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为 9，再加上 8010，就可口算出结果为809。例 1 所用的方法叫做加法的基准基准数法数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数（如例 1 的 80）叫做基基准数准数，各数与基准数的差的和叫做累累计差计差。由例 1 得到：总和数总和数=基准数基准数加数的个数加数的个数+累计差累计差，平均数平均数=基准数基准数+累计差累计差加数的个数加数的个数。在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。例例 2 2 某农场有 10 块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。解解：选基准数为 450，则累计差=123073023211811251150，平均每块产量=4505010455（千克）。答：平均每块麦田的产量为 455千克。求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7749（七七四十九）。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了1020 的平方，而 2199 的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法凑整补零法凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。例例 3 3 求 292和 822的值。解解：292=2929（291）（29-1）1230281840+1841。8228282（822）（822）22808446720+46724。由上例看出，因为 29 比 30 少1，所以给 29“补”1，这叫“补少”；因为 82 比 80 多 2，所以从 82 中“移走”2，这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给一个 29 补 1，就要给另一个 29 减 1；给一个 82 减了 2，就要给另一个 82 加上 2。最后，还要加上“移多补少”的数的平方。由凑整补零法计算 352，得小学奥数基础教程（四年级）- 2 -3535403052=1225。这与三年级学的个位数是 5 的数的平方的速算方法结果相同。这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。例例 4 4 求 9932和 20042的值。解解：9932=993993（9937）（993-7）+7210009864998600049986049。20042=20042004（2004-4）（2004+4）4220002008164016000164016016。下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。请看下面的算式：6646，7388，1944。这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为 10。这类算式有非常简便的速算方法。例例 5 5 8864？分析与解分析与解：由乘法分配律和结合律，得到8864（808）（604）（808）60（808）480608608048480608068048480（6064）8480（6010）848（61）100+84。于是，我们得到下面的速算式：由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为 84；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为 10 的因数”的十位数加1 的乘积，本例为 8（61）。例例 6 6 7791？解：解：由例 3 的解法得到由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个 0，本例为 7107。用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。练习练习 1 11.求下面 10 个数的总和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出 12 株麦苗的高度分别为（单位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦苗的平均高度。3.某车间有 9 个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他们共加工了多少个零件？4.计算：131610+1117121512161312。5.计算下列各题：（1）372； （2）532； （3）912；（4）682： （5）1082； （6）3972。6.计算下列各题：（1）7728；（2）6655；（3）3319；（4）8244；（5）3733；（6）4699。练习练习 1 1 答案答案1.1596。 2.26 厘米。3.711 个。 4.147。5.（1）1369； （2）2809； （3）8281；（4）4624； （5）11664； （6）157609。6.（1）2156； （2）3630； （3）627；（4）3608； （5）1221； （6）4554。第第 2 2 讲讲 速算与巧算（二）速算与巧算（二）上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。两个数之和等于 10，则称这两个数互补互补。在整数乘法运算中，常会遇到像 7278，2686 等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。7278 的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；2686 的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补同补”速算法速算法和“补同补同”速算法速算法。例例 1 1 （1）7674？ （2）3139？分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。（1）由乘法分配律和结合律，得到7674（76）（70+4）（706）70（76）470706707046470（7064）6470（7010）647（7+1）10064。于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：小学奥数基础教程（四年级）- 3 -由例 1 看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补 0，如 1909），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加 1 的乘积。“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是积的末两位是“尾尾尾尾”，前面是，前面是“头头（头（头+1+1）”。我们在三年级时学到的1515，2525，9595 的速算，实际上就是“同补”速算法。例例 2 2 （1）7838？ （2）4363？分析与解分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。（1）由乘法分配律和结合律，得到7838（708）（308）（708）30（708）87030+8307088870308（3070）8873100810088（738）10088。于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例 2 看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补 0，如 3309），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是：积的末两位数是积的末两位数是“尾尾尾尾”，前面是，前面是“头头头头+ +尾尾”。例 1 和例 2 介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们