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在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题: 问题一:从 A 地道 B 地,可以乘火车,也可以乘汽车或乘轮船。一天中,火车有 4 班,汽车有 3 班,轮船 有 2 班。那么从 A 地道 B 地共有多少种不同的走法?问题二:从甲村到乙村有两条道路,从乙村去丙村有 3 条道路。从甲村经乙村去丙村,共有多少种不同的 走法?解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。加法原理:为了完成一件事,有几类方法。第一类方法中有种不同的方法,第二类方法中有1m种不同的方法.第 n 类方法中有种不同的方法。那么,完成这件事共有种不2mnm12nNmmm同的方法。乘法原理:为了完成一件事,需要 n 个步骤。做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同1m2m的方法做第 n 步有种不同的方法。那么,完成这件事共有种不同的方法。nm12nNmmm【例题例题 1 1】每天从武汉到北京去,有 4 班火车,2 班飞机,1 班汽车。请问:每天从武汉到北京去,乘坐 这些交通工具共有多少种不同的走法? 解:4+2+1=7(种)【拓展拓展 1 1】学校开展读书竞赛活动,小明要从 4 本故事书、2 本文艺书、3 本科技书里任意选取一本书, 共有多少种不同的选法?【例题例题 2 2】如图,从家村去乙村有 3 条道路,从乙村去丙村有 2 条道路,从丙村去丁村有 4 条道路。小华 从甲村经乙村、丙村去丁村,共有多少种不同的走法?【拓展拓展 2 2】 (20082008 年第六届年第六届“走进美妙的数学花园走进美妙的数学花园”中国青少年解题技能展示大赛试题)中国青少年解题技能展示大赛试题)在右图的每个方 格中各放 1 枚围棋子(黑子或白子) ,共有多少种不同的放法?【例题例题 3 3】数学活动课上,张老师要求同学们用 0、1、2、3 这四个数字组成三位数,请问:(1)可以组 成多少个没有重复数字的三位数? (2)可以组成多少个不相等的三位数? 解:()332=18(个) (3)344=48(个)【拓展拓展 3 3】用 1、2、3、4 这四个数可以组成多少个没有重复数字的四位数?【例题例题 4 4】十把钥匙开十把锁。请问:最多试开多少次,就能把锁和钥匙配起来?解:9+8+2+1=45(次) 【拓展拓展 4】4】15 把钥匙开 15 把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁。请问:最多试开多少次,就能把锁和钥匙 配起来?【例题例题 5 5】用五种颜色给下图的五个区域染色,每个区域染一种颜色,相邻的区域所染的颜色不同。请问: 共有多少种不同的染色方法?ABDCE思路点拨:思路点拨:从区域 A 开始讨论,那么就要分区域 A 与区域 E 的颜色相同与不同两种情况。解答本题的关 键在于:对有最多相邻区域的区域先染色;对不相邻的两个区域染成同色。 解:(1)当区域 A 与区域 E 的颜色相同:A 有 5 种不同的方法,B 有 4 种不同的方法,C 有 3 种不同的方 法,D 有 3 种不同的方法。根据乘法原理,此时不同的染色方法有 5433=180(种) 。 (2)当区域 A 与区域 E 的颜色不同时:A 有 5 种不同的方法,E 有 4 种不同的方法,B 有 3 种不同的方法, C 有 2 种不同的方法,D 有 2 种不同的方法。根据乘法原理,此时不同的染色方法有 54322=240(种) 。 (3)根据加法原理,不同的染色方法共有 180+240=420(种) 【拓展拓展 5 5】如图,A、B、C、D、E 五个区域分别用红、蓝、白、绿五种颜色中的某一种涂染,若使相邻的 区域涂不同的颜色,问:有几种不同的涂法?AB CD E【例题例题 6 6】某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂一面、二 面或三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?思路点拨:用一面旗子可以表示 3 种不同信号(红、黄、蓝) ,用两面旗子可以表示 32=6(种)信号, 用三面旗子可以表示 321=6(种)信号,运用加法原理,可以计算出表示信号的种数。 3+32+321=15(种) 【拓展拓展 6 6】右图是某以地区的道路分布图,A,B,C,D 分别代表四个城镇,那么从 A 镇去 C 镇一共有多少种 不同的走法?(每个点不重复经过)【例题例题 7 7】将 A、B、C、D、E、F、G 七位学生在操场排成一列,其中学生 B 与 C 必须相邻。请问共有多少 种不同的排列方法? 思路点拨:可以分两类情况考虑: 若 B 站在两端,B 有两种选择,C 只有一种选择,另五人分别有 5,4,3,2,1 种站法选择,这种情况共 有 2154321=240(种)不同站法。 若 B 站在中间,B 有五种选择。B 无论在中间何处,C 都有两种选择,另五人分别有 5、4、3、2、1 种站 法选择,这种情况共有 5254321=1200(种)不同站法。因此七人排一列,B 与 C 必须相邻, 共有 240+1200=1440(种)不同 【拓展拓展 7 7】 (第六届小学(第六届小学“希望杯希望杯”全国数学邀请赛试题)全国数学邀请赛试题)节日期间,小明将 6 个彩灯排成一列,其中有 2 个红灯,4 个绿灯。如果两个红灯不相邻,则不同的排法有 种。【精练精练 1 1】从武汉到南京去,每天有 2 班火车、3 班汽车、2 班飞机、1 班轮船。请问:每天从武汉到南 京去,一共有多少种不同的走法?【精练精练 2 2】 “六一”儿童节,小东到书店去买书,他喜欢的书有:3 种故事书、4 种科学书、5 种文艺书, 他带的钱只能买其中一种,请问:他有多少种不同的选择方法?【精练精练 3 3】 (小学(小学“希望杯希望杯”全国数学邀请赛试题)全国数学邀请赛试题)奥运吉祥物中的五个“福娃”取自“北京欢迎您”的 谐音:贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮。如果在盒子中从左向右放五个不同的“福娃” ,那么一共有多少 种不同的放法?【精练精练 4 4】 (天津(天津“陈省身杯陈省身杯”国际青少年数学邀请赛试题)国际青少年数学邀请赛试题)用 4 种颜色的水彩笔给“MATH”四个字涂颜 色,要求不同字母用不同颜色的笔去涂,共可以有多少种不同颜色搭配方式?【精练精练 5 5】 (长春市天宇杯数学测试题)(长春市天宇杯数学测试题)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个没有重复数字的 三位数?【精练精练 6 6】人民电影院有 6 个门,其中 A,B,C,D 这四个门只供散场时作为出口,甲乙这两个门既可以作为 入口页可以作为出口(如图) 。请问:如果要到人民电影院去看电影,共有几种不同的进出路线?甲乙ABDC【精练精练 7 7】( (第十四届第十四届“华罗庚杯华罗庚杯”少年数学邀请赛试题少年数学邀请赛试题) )按照中国篮球职业联赛组委会的规定,每队队员 的号码可以选择范围是 055 号,但选择两位数的号码时,每位数字不能超过 5。那么,可供每支球队选 择的号码共有多少个?【精练精练 8】(2008 年巨人学校数学年巨人学校数学“尖子班尖子班”入学试题入学试题)如图,要从 A 走到 B,但 C,D 不能通过,所以增 添了一条斜着的路。如果只能向右、向上、向斜上方走,一共有多少种不同的走法?ABDC【精练精练 9】有两个相同的正方体,每个正方体的六个面上分别别有数字 1,2,3,4,5,6,将两个正方 体放在桌面上,向上的一面数字之和为偶数的有多少种情况?【精练精练 10】 (南京市(南京市“兴趣杯兴趣杯”数学邀请赛试题)数学邀请赛试题)六年级的大哥哥大姐姐要毕业了,准备照一张合影留作 纪念。4 个男同学,2 个女同学共 6 个人站成一排,要求 2 个女同学紧挨着站在正中间。请问:一共有多 少种不同的站法?【精练精练 11】(全国全国“创新杯创新杯”数学邀请赛试题数学邀请赛试题)如图,这是一个棋盘,将一个白字和一个黑子放在棋盘线 的交叉点上,但不能在同一条棋盘线上,则有多少种不同的方法?【精练精练 12】(第七届湖北省第七届湖北省“创新杯创新杯”全国数学邀请赛试题全国数学邀请赛试题)从 5 名奥运志愿者选出 3 名,分别从事翻译、 导游、保洁三项不同的工作,每天承担一项,其中只有甲不能从事翻译工作,则有多少种不同的选派方 案?
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