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山东省实验中学用心 爱心 专心1 第 2 讲 等差数列及其前 n 项和【高考会这样考】1考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题2考查等差数列的性质、前 n 项和公式及综合应用【复习指导】1掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前 n 项和公式等2掌握等差数列的判断方法,等差数列求和的方法基础梳理1等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示2等差数列的通项公式若等差数列an的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 ana1(n1)d.3等差中项如果 A,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项ab24等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:anam(nm)d(n,mN*)(2)若an为等差数列,且 mnpq,则 amanapaq(m,n,p,qN*)(3)若an是等差数列,公差为 d,则 ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为 md 的等差数列(4)数列 Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)若 n 为偶数,则 S偶S奇;nd22 若 n 为奇数,则 S奇S偶a中(中间项)5等差数列的前 n 项和公式若已知首项 a1和末项 an,则 Sn,或等差数列an的首项是 a1,公差是 d,则其na1an2前 n 项和公式为 Snna1d.nn126等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Sn n2n,数列an是等差数列的充要条件是 SnAn2Bn(A,B 为常数)d2(a1d2)7最值问题在等差数列an中,a10,d0,则 Sn存在最大值,若 a10,d0,则 Sn存在最小值双基自测1已知an为等差数列,a2a812,则 a5等于( )A4 B5 C6 D7解析 a2a82a5,a56.答案 C2设数列an是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a62 且 S530,则 S8等于( )A31 B32 C33 D34解析 由已知可得Error!解得Error!S88a1d32.8 72答案 B3已知数列an的前 n 项和 Sn满足:SnSmSnm,且 a11.那么 a10( )A1 B9 C10 D55解析 由 SnSmSnm,得 S1S9S10a10S10S9S1a11.答案 A山东省实验中学用心 爱心 专心3 4设 Sn是等差数列an的前 n 项和,已知 a23,a611,则 S7等于( )A13 B35 C49 D63解析 a1a7a2a631114,S749.7a1a72答案 C5在等差数列an中,a37,a5a26,则 a6_.解析 设公差为 d.则 a5a23d6,a6a33d7613.答案 13 考向一 等差数列基本量的计算【例 1】在等差数列an中,a11,a33.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an的前 k 项和 Sk35,求 k 的值审题视点 第(1)问,求公差 d;第(2)问,由(1)求 Sn,列方程可求 k.解 (1)设等差数列an的公差为 d,则 ana1(n1)d.由 a11,a33 可得 12d3.解得 d2.从而,an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知 an32n.所以 Sn2nn2.n132n2进而由 Sk35 可得 2kk235.即 k22k350,解得 k7 或 k5.又 kN*,故 k7 为所求等差数列的通项公式及前 n 项和公式中,共涉及五个量,知三可求二,如果已知4 两个条件,就可以列出方程组解之如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以体现了用方程思想解决问题的方法【训练 1】 九章算术“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为_升解析 设竹子从上到下的容积依次为 a1,a2,a9,由题意可得a1a2a3a43,a7a8a94,设等差数列an的公差为 d,则有4a16d3,3a121d4,由可得 d,a1,所以 a5a14d476613221322.7666766答案 6766考向二 等差数列的判定或证明【例 2】已知数列an的前 n 项和为 Sn且满足 an2SnSn10(n2),a1 .12(1)求证:是等差数列;1Sn(2)求 an的表达式审题视点 (1)化简所给式子,然后利用定义证明(2)根据 Sn与 an之间关系求 an.(1)证明 anSnSn1(n2),又 an2SnSn1,Sn1Sn2SnSn1,Sn0,2(n2)1Sn1Sn1由等差数列的定义知是以2 为首项,以 2 为公差的等差数列1Sn1S11a1(2)解 由(1)知(n1)d2(n1)22n,1Sn1S1Sn.当 n2 时,有 an2SnSn1,12n12nn1山东省实验中学用心 爱心 专心5又a1 ,不适合上式,anError!12等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式法和前 n 项和公式法主要适合在选择题中简单判断【训练 2】 已知数列an的前 n 项和 Sn是 n 的二次函数,且 a12,a22,S36.(1)求 Sn;(2)证明:数列an是等差数列(1)解 设 SnAn2BnC(A0),则Error!解得:A2,B4,C0.Sn2n24n.(2)证明 当 n1 时,a1S12.当 n2 时,anSnSn12n24n2(n1)24(n1)4n6.an4n6(nN*)当 n1 时符合上式,故 an4n6,an1an4,数列an成等差数列考向三 等差数列前 n 项和的最值【例 3】设等差数列an满足 a35,a109.(1)求an的通项公式;(2)求an的前 n 项和 Sn及使得 Sn最大的序号 n 的值审题视点 第(1)问:列方程组求 a1与 d;第(2)问:由(1)写出前 n 项和公式,利用函数思想解决解 (1)由 ana1(n1)d 及 a35,a109 得Error!可解得Error!数列an的通项公式为 an112n.(2)由(1)知,Snna1d10nn2.nn126 因为 Sn(n5)225,所以当 n5 时,Sn取得最大值求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调性或性质,求出其正负转折项,便可求得和的最值(2)利用等差数列的前 n 项和 SnAn2Bn(A、B 为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值【训练 3】 在等差数列an中,已知 a120,前 n 项和为 Sn,且 S10S15,求当 n 取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值解 法一 a120,S10S15,1020d1520d,10 9215 142d .53an20(n1) n.(53)53653a130.即当 n12 时,an0,n14 时,an0.当 n12 或 13 时,Sn取得最大值,且最大值为S12S131220130.12 112(53)法二 同法一求得 d .53Sn20nnn12(53) n2n5612562.56(n252)3 12524nN*,当n12 或 13 时,Sn有最大值,且最大值为S12S13130.山东省实验中学用心 爱心 专心7法三 同法一得 d .53又由 S10S15,得 a11a12a13a14a150.5a130,即 a130.当 n12 或 13 时,Sn有最大值,且最大值为 S12S13130.考向四 等差数列性质的应用【例 4】设等差数列的前 n 项和为 Sn,已知前 6 项和为 36,Sn324,最后 6 项的和为180(n6),求数列的项数 n.审题视点 在等差数列 an中,若 mnpq,则 amanapaq(m,n,p,qN*)用此性质可优化解题过程解 由题意可知 a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又 Sn324,na1an218n324.n18.本题的解题关键是将性质 mnpqamanapaq与前 n 项和公式 Sn结合在一起,采用整体思想,简化解题过程na1an2 【训练 4】 (1)设数列an的首项 a17,且满足 an1an2(nN),则a1a2a17_.(2)等差数列an中,a1a2a324,a18a19a2078,则此数列前 20 项和等于_解析 (1)an1an2,an为等差数列an7(n1)2,a17716225,S17153.a1a17 172725 1728 (2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018S202020180.a1a202182答案 (1)153 (2)180
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