28 第二章第二章群表示理论基础群表示理论基础2.12.1 群表示群表示【定义定义 2.1】 （线性空间）（线性空间）数域数域 K（实数域（实数域 R 或复数域或复数域 C）上的线性空间）上的线性空间 V 是一个向量集合，是一个向量集合，；xVr该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合 V 在加法运算下构成交换群，在加法运算下构成交换群， 满足：满足：，唯一逆元）（）（唯一单位元，有oxxxxoxxooxzyxzyxxyyxVzyxrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr,)()(,数乘运算数乘运算 KVV 满足：满足：xxxbxaxbayaxayxaxbaxabKbarrrrrrrrrrr1)()()()(,【定义定义 2.2】 （线性无关和维数）（线性无关和维数）线性空间线性空间 V 中，任意中，任意 n 个向量个向量，其线性组合，其线性组合nxxxrLrr,21当且仅当当且仅当时成立，则称此时成立，则称此02211nnxaxaxarLrr021naaaLn 个向量线性无关，否则它们线性相关。线性空间中线性无关向量的最大个向量线性无关，否则它们线性相关。线性空间中线性无关向量的最大 个数个数 m，称为空间，称为空间 V 的维数，记为的维数，记为 dimV = m。【定义定义 2.3】 （基矢）（基矢）设设 V 是是 n 维线性空间，则维线性空间，则 V 中任意一组中任意一组 n 个线性无关的向量，称为空间个线性无关的向量，称为空间 V 的基的基矢，记为矢，记为。空间中任意矢量均可表示为。空间中任意矢量均可表示为 n 个基矢的线性组合，个基矢的线性组合，),(21neeerLrr。矩阵形式：。矩阵形式：niiiexxrr29 niiieeeeeerLrrLrrr00001210100,0100),(21 MMrMMrLrrr inieeeee nnninii xxxxxxxeeeexxMr MrLrrrr212121 1,),(【定义定义 2.4】 （线性变换）（线性变换）线性变换线性变换 A 是将是将 V 映入映入 V 的线性映射，满足：的线性映射，满足：)()()(,)(,:,yAxaAyxaAVxAVVAKaVyxrrrrrrr线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法 nnnnnnnn ijij jiiiij jj jjjnjjjn iiijjjjjj jjjyy eeexxAAAA eeexaeeaxexAxAaaaeeeeaeeAeyyexxyxAMrLrrM LMLMLrLrrrrrMrLrrrrrrrrrrr12111111212121),(),()()(),()(,)(故有矩阵形式：故有矩阵形式： nnnnnnyyxxAAAA yxAMM LMLMLrr111111 ,30 若若，则称线性变换，则称线性变换 A 非奇异，非奇异，A 有逆变换有逆变换 A-1，A-1=A-1。0detA【定义定义 2.5】 （线性变换群）（线性变换群） 定义两个变换的乘法为两个线性变换的相继作用，则定义两个变换的乘法为两个线性变换的相继作用，则 n 维复线性空间维复线性空间 V 上的全上的全 部非奇异线性变换构成的集合在此乘法下构成一个群，称为部非奇异线性变换构成的集合在此乘法下构成一个群，称为 n 维复一般线性群，维复一般线性群， 记为记为 GL(V , C)，其子群，其子群 L(V, C)称为称为 V 上的线性变换群。上的线性变换群。【定义定义 2.6】 （群表示）（群表示） 设有群设有群 G，如果存在一个从，如果存在一个从 G 到到 n 维线性空间维线性空间 V 上的线性变换群上的线性变换群 L 的同态映射的同态映射 A，则同态映射，则同态映射 A 称群称群 G 的一个线性表示，的一个线性表示，V 为表示空间，为表示空间，n 称为表示的维数。称为表示的维数。EgAgAgAggAGggLgAGgLGAo)()()()( ,)(,:其中其中 g0 0为为 G 的单位元，的单位元，E 为为 L 中的恒等变换。中的恒等变换。系系 1 在表示空间在表示空间 V 选一组基，线性变换群可化为矩阵形式，故群在表示空间选一组基，线性变换群可化为矩阵形式，故群在表示空间 V 上的线性表示，亦可定义为上的线性表示，亦可定义为 G 到矩阵群的同态映射到矩阵群的同态映射 A。 系系 2 若群若群 GG，则，则 G 的表示也是的表示也是 G的表示。的表示。 系系 3 一个群一个群 G 原则上可有无限多的表示。原则上可有无限多的表示。【定义定义 2.7】 （忠实表示）（忠实表示） 如果群如果群 G 到线性变换群到线性变换群 L 的映射的映射 A 为同构映射，则该表示称为忠实表示。为同构映射，则该表示称为忠实表示。群表示理论研究抽象群的矩阵表示的结构、类型等规律。群表示理论研究抽象群的矩阵表示的结构、类型等规律。例例 2.1 任何群任何群 G 恒与恒与1同态，同态，1是任何群是任何群 G 的表示，称为一维恒等表示。的表示，称为一维恒等表示。例例 2.2 三个简单的二阶变换群的表示。其矩阵形式即为它们的表示。三个简单的二阶变换群的表示。其矩阵形式即为它们的表示。取表示空间为取表示空间为 R3，基矢：，基矢：。kjirrr , 为对为对 xy 平面的反演。平面的反演。,kek31 群群本身是定义在本身是定义在 R3 空间上的线性变换，故其本身是自己的一个表示，空间上的线性变换，故其本身是自己的一个表示，,ke选择一个具体基矢选择一个具体基矢可以将其矩阵化：可以将其矩阵化：kjirrr ,kjikkjikekjijkjijekjiikjiiekkk rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) 1(00)(,100)(010)(,010)(001)(,001)(故表示矩阵为：故表示矩阵为： 100010001 )(, 100010001 )(kAeA ，表示矩阵为：，表示矩阵为：),(),( : )( ),(,zyxzyxCCekk 100010001 )(, 100010001 )(kCAeA ，其表示为：，其表示为：),(, ,zyxzyxIIe）为空间反演：（ 100010001 )(, 100010001 )(IAeA以上三个群均是以上三个群均是 R3上的变换群，故其本身就是他们的表示（忠实表示）上的变换群，故其本身就是他们的表示（忠实表示） 。他们。他们 还可以有其他的表示。如空间反演群有表示，如：还可以有其他的表示。如空间反演群有表示，如： 100010001 )(, 100010001 )(IAeA它实际上是三个一维表示的合成：它实际上是三个一维表示的合成：个非恒等表示个恒等表示1, 1)(, 1)(2, 1)(, 1)(IAeAIAeA或者说一个二维恒等表示与一个一维非恒等表示的直和。或者说一个二维恒等表示与一个一维非恒等表示的直和。，均是互相同构的二阶循环群，均是互相同构的二阶循环群，具有相同的群表，具有相同的群表 , ),( , , ,IeCeekk2Z示。他们两个最基本的表示为：示。他们两个最基本的表示为：, a 分别为分别为。1 )(, 1)( ; 1)()(aAeAaAeAICkk),(,32 例例 2.3 D3 3=群的表示。群的表示。,cbafde D3有一维恒等表示，有一维恒等表示，；1)()()()()()(cAbAaAfAdAeA D3与与 Z2同态：同态：1, 123ZD, 1,fde1,cba故故 D3有非恒等一维表示：有非恒等一维表示：1)()()(1)()()(cAbAaAfAdAeA D3 3为为 R3的线性变换群，其矩阵形式本身即为它的一个表示。的线性变换群，其矩阵形式本身即为它的一个表示。表示空间表示空间 V 为为 R3，取基，取基：kjirrr ,)32( , 100010001 )(zCdeA ,100)(0)21(23)(023 21)(kjikdkjijdkjiidrvrrrrrrrrrr 10002/12/302/32/1 )(dA同理，可得表示矩阵同理，可得表示矩阵 )( ),( ),( ),(cAbAaAfA D3在在 x , y, z 的二次齐次函数空间中的表示，空间的基为：的二次齐次函数空间中的表示，空间的基为：. , , , , ,6542 32 22 1xzyzxyzyx任何二次齐次函数可表示为以上基函数的线性组合。三维空间中的线性变换任何二次齐次函数可表示为以上基函数的线性组合。三维空间中的线性变换g 对向量对向量 r 的改变的改变，同时将对定义在该空间中的标量函数，同时将对定义在该空间中的标量函数作变换，即作变换，即 grgrrv)(rr对应一个标量函数变换算符对应一个标量函数变换算符，即，即。由。由容易发现，容易发现，gP)()( rPrgrr)() ( rrrr33 。可以验证变换群可以验证变换群与算符做成的函数变换群与算符做成的函数变换群同构同构。)()()( 1rgrPrgrrrggP对于，有：Ggg21,)()()()( 211 211 11 21 2121rPrggrggrgPrPPgggggrrrrr故故, 故故在函数线性空间上的矩阵形式即为群在函数线性空间上的矩阵形式即为群的一个表的一个表g2g1g2 g1PPPgPg示。示。上的表示：，在6543213D10002/12/302/32/1 , ),32(1ffdCdkr654321221 365432122221 265432122221 1000100)(023041 4323 41 43)21 23()(00)23(043 4123 43 41)23 21()(zrdPxyyxyxrdPxyyxyxrdPzdydxdrrr34 65432111 665432111 56543212211 4)21()23(000)21 23()23 21()()()23()21(00023 21)21